Si $3^x = 5$, $5^y = 10$, $10^z = 16$, entonces ¿cuál es $3^{xyz}$?

Question

No se puede publicar imágenes así que voy a escribir aquí:

$$3^x = 5,\qquad 5^y = 10,\qquad 10^z = 16$$

Entonces, ¿qué es $3^{xyz}$?

Me he pasado como una hora tratando de solucionarlo y no pude. Ayuda sería super duper apreciado. Gracias!

Edit: uhh creo que he resuelto? Sería la respuesta se $16$?

Básicamente me puse a$3^x$ en lugar de la $5$ en $5^y = 10$, así que ahora tengo $(3^x)^y = 10$ (que es $3^{xy} = 10$), hizo lo mismo con la última ecuación y conseguí $16$ como una respuesta, pero ¿alguien puede confirmar esto?

Answer 1

$3^{xyz}$ es el mismo que $(3^x)^{yz}$ e $3^x=5$

esto se convierte en $5^{yz}$ y esto es igual a $(5^y)^{z}$ e si $5^y=10$

esto se convierte en $10^z$ y desde $10^z=16$ tiene que $3^{xyz}=16$

Answer 2

Ricky da la mejor solución, pero aquí es una solución de fuerza bruta que usa más maquinaria. Observamos que <span class="math-container">$$ x = \frac {\log 5} {\log 3}; \quad y = \frac {\log 10} {\log 5}; \quad z = \frac {\log 16} {\log 10} $$</span> por lo <span class="math-container">$$ xyz = \frac {\log 16} {\log 3} = \log_ {3} 16 $$</span> dónde <span class="math-container">$$ 3 ^ {xyz} = 16. $</span>