¿Cómo podemos resolver la ecuación diofantina?

Question

¿Cómo podemos encontrar todas las soluciones primitivas de la ecuación diofantina $x^2+3y^2=z^2$ ?

Algunas soluciones son $(\pm n , 0 , \pm n)$ para $n\in \mathbb{N}$ . ¿Cómo podemos encontrar también a los demás?

Answer 1

Podemos seguir el método de proyección estereográfica utilizado para encontrar los triples pitagóricos. Empezamos dividiendo por $z^2$ , lo que nos da la ecuación $$\left(\frac{x}{z}\right)^2 + 3\left(\frac{y}{z}\right)^2 = 1.$$ O, en otras palabras, buscamos puntos racionales en la elipse $$x^2 + 3y^2 = 1.$$ Tomaremos el punto $(1, 0)$ y proyectar estereográficamente en el $y$ -eje. Consideremos un punto arbitrario $(0, y)$ en el $y$ -y considerar la línea $$r = (1, 0) + t(-1, y)$$ entre $(1, 0)$ y $(0, y)$ . Esta línea pasa por la elipse en $(1, 0)$ y un segundo punto, que será el que se proyecte estereográficamente sobre $(0, y)$ . El $t$ para este punto debe satisfacer, $$(1 - t)^2 + 3(ty)^2 = 1 \iff t((3y^2 + 1)t - 2) = 0.$$ El $t = 0$ solución produce $(1, 0)$ Así que lo descartamos. La otra solución es $$t = \frac{2}{3y^2 + 1},$$ que da como resultado el punto de la elipse, $$\left(\frac{3y^2 - 1}{3y^2 + 1}, \frac{2y}{3y^2 + 1}\right).$$ Ahora bien, cuando tengamos un punto racional en la elipse, la recta será de pendiente racional, y por tanto se proyectará estereográficamente a un punto $(y, 0)$ donde $y$ es racional. Es decir, el punto racional de la elipse debe tener la forma anterior donde $y \in \mathbb{Q}$ . Si tomamos $y = \frac{m}{n}$ , donde $n \neq 0$ y $m, n \in \mathbb{Z}$ , entonces esto se convierte en $$\left(\frac{3\left(\frac{m}{n}\right)^2 - 1}{3\left(\frac{m}{n}\right)^2 + 1}, \frac{2\frac{m}{n}}{3\left(\frac{m}{n}\right)^2 + 1}\right) = \left(\frac{3m^2 - n^2}{3m^2 + n^2}, \frac{2mn}{3m^2 + n^2}\right).$$

---

Para terminar, supongamos que tenemos una solución entera $(x, y, z)$ a la ecuación diofantina $x^2 + 3y^2 = z^2$ . Si $z = 0$ entonces $x = y = 0$ que es una solución. De lo contrario, $z \neq 0$ y $\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)$ debe ser un punto (racional) de la elipse. Este punto puede ser $(1, 0)$ , en cuyo caso $(x, y, z) = k(1, 0, 1)$ (los puntos que has mencionado). Las otras soluciones deben ser de la siguiente forma $$\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right) = \left(\frac{3m^2 - n^2}{3m^2 + n^2}, \frac{2mn}{3m^2 + n^2}\right).$$ Igualando las fracciones, debemos tener, para algunos enteros $k, l$ , \begin{align*} x &= k(3m^2 - n^2) \\ z &= k(3m^2 + n^2) \\ y &= l(2mn) \\ z &= l(3m^2 + n^2). \end{align*} Como tal, $k = l$ por lo que nuestra solución es de la forma $$(x, y, z) = k(3m^2 - n^2, 2mn, 3m^2 + n^2)$$ para los enteros $m, n, k$ . Lo más importante es que cada uno de ellos es una solución, ya que $$(k(3m^2 - n^2))^2 + 3(k(2mn))^2 = k^2(9m^4 + n^4 - 6m^2 n^2 + 12m^2 n^2) = (k(3m^2 + n^2))^2.$$ Tenga en cuenta que el $(0, 0, 0)$ se puede obtener de $k = 0$ pero no hay forma de obtener el $k(1, 0, 1)$ soluciones. Por lo tanto, nuestra solución general es $$(x, y, z) = k(1, 0, 1) \text{ or } k(3m^2 - n^2, 2mn, 3m^2 + n^2) \text{ for } k, m, n \in \mathbb{Z}.$$