La forma más sencilla de encontrar el volumen de un sólido de revolución alrededor de una línea dada

Question

Pregunta

Me gustaría saber la forma más sencilla de encontrar el volumen del sólido de revolución creado al girar la parábola $y=x^2$ alrededor de la línea $y=x$ (la forma que se muestra en azul abajo). Actualmente estoy tomando AP BC Cálculo como un junior en la escuela secundaria, por lo que un método que utiliza esos conceptos sería ideal, pero si es mucho más simple de usar algunas matemáticas superiores, voy a mirar en él :)

Lo siguiente es lo que he intentado utilizando una variación del método del disco. Creo que es correcto, pero, como el lector puede ver, es muy complejo.

Mi método

Para emplear el método del disco, primero hay que derivar una función para el radio del sólido en función de $x$ a lo largo de $y=x$ . A continuación, elevar al cuadrado y multiplicar por $\pi$ . Por último, integrar en el intervalo $[0,\sqrt{2}]$ .

Comienza construyendo una línea perpendicular a $y=x$ que se cruza con $y=x$ (ocasionalmente $f(x)$ ) y $y=x^2$ (ocasionalmente $g(x)$ ) en $(x_2,y_2)$ y $(x_1,y_1)$ respectivamente (como se muestra a continuación).

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\tag{1}$$ Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre estos puntos.

$$\begin{align} \color{gray}{y} &\color{gray}{=} \color{gray}{-x+2x_2}\\ y &=x \end{align}$$ $$x=-x+2x_2$$ $$2x=2x_2$$ $$x_2=x\tag{2}$$

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$$\begin{align} y_2&=f(x_2)\\ &=x\tag{3} \end{align}$$

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$$\begin{align} \color{gray}{y} &\color{gray}{=} \color{gray}{-x_1+2x_2}\\ \color{gray}{y} &\color{gray}{=} \color{gray}{-x_1+2x}\\ y &={x_1}^2 \end{align}$$ $${x_1}^2=-x_1+2x$$ $$0=1{x_1}^2+1x_1+-2x$$ $$\begin{align} x_1&=\frac{-1+\sqrt{1^2-4(1)(-2x)}}{2(1)}\\ &=\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\tag{4} \end{align}$$

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$$\begin{align} y_1&=g(x_1)\\ &=\bigg(\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\bigg)^2\tag{5} \end{align}$$ Encuentra las variables de la fórmula de la distancia como funciones de $x$ (Ecuaciones 2-5 con las derivaciones indicadas sobre ellas, respectivamente).

$$\begin{align} d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(x-\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(x-\bigg(\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\bigg)^2\Bigg)^2}\tag{6} \end{align}$$

Conecta las Ecs. 2-5 en la fórmula de la distancia.

$$\begin{align} d&=\sqrt{\Bigg(x-\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(x-\bigg(\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\bigg)^2\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(x-\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(x-\bigg(\frac{(1+8x)-2\sqrt{1+8x}+1}{4}\bigg)\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(x-\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(x-\bigg(\frac{2+8x-2\sqrt{1+8x}}{4}\bigg)\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(\frac{2x}{2}-\frac{\sqrt{1+8x}-1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{2x}{2}-\frac{1+4x-\sqrt{1+8x}}{2}\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(\frac{2x-\sqrt{1+8x}+1}{2}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{2x-1-4x+\sqrt{1+8x}}{2}\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{\Bigg(\frac{1+2x-\sqrt{1+8x}}{2}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{-1-2x+\sqrt{1+8x}}{2}\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{2\Bigg(\frac{1+2x-\sqrt{1+8x}}{2}\Bigg)^2}\\ &=\sqrt{2\Bigg(\frac{1+4x^2+(1+8x)+4x-2\sqrt{1+8x}-4x\sqrt{1+8x}}{4}\Bigg)}\\ &=\sqrt{\frac{4x^2+12x-(4x+2)\sqrt{1+8x}+2}{2}}\\ &=\sqrt{2x^2+6x-(2x+1)\sqrt{1+8x}+1}\tag{7} \end{align}$$

Simplifica la Ecuación 6.

$$\begin{align} r&=\sqrt{2\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)^2+6\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)-\bigg(2\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)+1\bigg)\sqrt{1+8\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)}+1}\\ &=\sqrt{2\bigg(\frac{x^2}{2}\bigg)+6\bigg(\frac{\sqrt{2}x}{2}\bigg)-\bigg(2\bigg(\frac{\sqrt{2}x}{2}\bigg)+1\bigg)\sqrt{1+8\bigg(\frac{\sqrt{2}x}{2}\bigg)}+1}\\ &=\sqrt{x^2+3\sqrt{2}x-\big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x}+1}\tag{8} \end{align}$$

Dilatar la Ecuación 7 por $\sqrt{2}$ en la dirección x para que la distancia entre los interceptos x de las funciones sea igual a la distancia entre los dos interceptos de $f(x)$ y $g(x)$ . Simplifica para obtener la Ecuación 8. Observa que la gráfica de la Ecuación 8 de $[0,\sqrt{2}]$ (abajo en verde) se compara con la reflexión sobre el eje x de la ecuación final para una parábola girada 45 grados dada por Ennar (abajo en rojo), como debería.

Gráfico de Desmos.

Trabajo de integración por partes (para abajo): $$\color{red}{\int\big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x} \ dx}$$ $$ \begin{array}{|c|} \hline \mathbf{u=\sqrt{2}x+1},\ \mathbf{dv=\sqrt{1+4\sqrt{2}x} \ dx}\\ \hline \begin{array}{c|c} \frac{du}{dx}=\sqrt{2} & \int dv=\int\sqrt{1+4\sqrt{2}x}\ dx\\ \mathbf{du=\sqrt{2}\ dx} & v=\int\sqrt{w}\ \frac{dw}{4\sqrt{2}}\\ & v=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int\sqrt{w}\ dw\\ & v=\frac{1}{4\sqrt{2}}\times\frac{w^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\\ & v=\frac{2}{12\sqrt{2}}w^\frac{3}{2}\\ & \mathbf{v=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}}\\ \end{array}\\ \hline \end{array} $$

$$\begin{align} &=uv-\int v \ du\\ &=\big(\sqrt{2}x+1\big)\bigg(\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\bigg)-\int \bigg(\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\bigg)\big(\sqrt{2}\ dx\big)\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\int \big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\ dx\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\int w^\frac{3}{2}\ \frac{dw}{4\sqrt{2}}\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{1}{24\sqrt{2}}\int w^\frac{3}{2}\ dw\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{1}{24\sqrt{2}}\times\frac{w^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{2}{120\sqrt{2}}w^\frac{5}{2}\\ &=\frac{1}{6\sqrt{2}}\big(\sqrt{2}x+1\big)\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}-\frac{1}{60\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{5}{2}\\ &=\frac{1}{60\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\big(10\big(\sqrt{2}x+1\big)-\big(1+4\sqrt{2}x\big)\big)\\ &=\frac{1}{60\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\big(10\sqrt{2}x+10-1-4\sqrt{2}x\big)\\ &=\frac{1}{60\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\big(6\sqrt{2}x+9\big)\\ \end{align}$$

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Trabaja: $$\begin{align} V&=\int_0^\sqrt{2}\pi\sqrt{x^2+3\sqrt{2}x-\big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x}+1}^2 \ dx\\ &=\int_0^\sqrt{2}\pi x^2+3\pi \sqrt{2}x-\pi \big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x}+\pi \ dx\\ &=\int_0^\sqrt{2}\pi x^2 \ dx+\int_0^\sqrt{2}3\pi \sqrt{2}x \ dx-\int_0^\sqrt{2}\pi \big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x} \ dx+\int_0^\sqrt{2}\pi \ dx\\ &=\pi\int_0^\sqrt{2}x^2 \ dx+3\pi \sqrt{2}\int_0^\sqrt{2}x \ dx-\pi \color{red}{\int_0^\sqrt{2}\big(\sqrt{2}x+1\big)\sqrt{1+4\sqrt{2}x} \ dx}+\pi\int_0^\sqrt{2}dx\\ &=\pi\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_0^\sqrt{2}+3\pi \sqrt{2} \bigg[\frac{x^2}{2}\bigg]_0^\sqrt{2}-\pi \bigg[\frac{1}{60\sqrt{2}}\big(1+4\sqrt{2}x\big)^\frac{3}{2}\big(6\sqrt{2}x+9\big)\bigg]_0^\sqrt{2}+\pi[x]_0^\sqrt{2}\\ &=\pi\bigg[\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{0}{3}\bigg]+3\pi\sqrt{2}\bigg[\frac{2}{2}-\frac{0}{2}\bigg]-\pi\bigg[\frac{(9)^\frac{3}{2}(21)}{60\sqrt{2}}-\frac{(1)^\frac{3}{2}(9)}{60\sqrt{2}}\bigg]+\pi\big[\sqrt{2}-0\big]\\ &=\pi\bigg[\frac{2\sqrt{2}}{3}\bigg]+3\pi\sqrt{2}[1]-\pi\bigg[\frac{558}{60\sqrt{2}}\bigg]+\pi\big[\sqrt{2}\big]\\ &=\frac{2}{3}\pi\sqrt{2}+3\pi\sqrt{2}-\frac{93}{20}\pi\sqrt{2}+\pi\sqrt{2}\\ &=\pi\sqrt{2}\bigg(\frac{40}{60}+\frac{180}{60}-\frac{279}{60}+\frac{60}{60}\bigg)\\ &=\pi\sqrt{2}\bigg(\frac{1}{60}\bigg)\\ &=\frac{\pi\sqrt{2}}{60} \end{align}$$

Utilizando el método del disco, integrar $\pi r^2$ de $[0,\sqrt{2}]$ con la Ecuación 8 introducida para $r$ con respecto a $x$ .

TL;DR

Francamente, la pregunta no parece tan complicada, y la respuesta de $\frac{\pi\sqrt{2}}{60}$ es definitivamente bastante simple. Tengo que creer que hay una forma más concisa de resolver este problema.

Todas las opiniones/respuestas son bienvenidas, ¡gracias!

Answer 1

Para $0 < x < 1,$ considere el segmento de línea desde $(x,x^2)$ a $(x,x).$ Girado alrededor de la línea $y = x,$ esto produce un "sombrero" cónico finito con altura oblicua $x - x^2$ y el radio de la base $(x - x^2)/\sqrt2,$ por lo que tiene una superficie $\pi(x - x^2)^2/\sqrt2.$

El sólido está compuesto por una pila anidada de estos "sombreros" cónicos. El elemento de volumen entre el "sombrero" en $x$ y el "sombrero" en $x + dx$ es $\frac\pi{\sqrt2}(x - x^2)^2 dx,$ por lo que integramos $$ \int_0^1 \frac\pi{\sqrt2}(x - x^2)^2 dx = \frac\pi{\sqrt2}\left[\frac{x^5}5 - \frac{x^4}2 + \frac{x^3}3\right]_0^1 = \frac{\pi\sqrt2}{60}. $$

Answer 2

Sí, utilizando el método del disco y acabas teniendo que lidiar con algunos cálculos poco manejables. Utilice carcasas cilíndricas para hacerte la vida más fácil. Aquí hay algunas ecuaciones/álgebra que serán necesarias:

La distancia entre la línea $y = x + c$ y la línea $y =x$ es igual a $\frac{|c|}{\sqrt 2}$ .

Si ambos $y = x + c$ y $y = x^2$ son verdaderos, entonces

$\tag 1 x^2 -x -c = 0$

Usando la fórmula cuadrática,

$$\tag 2 x_0 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4c}}{2} \text{ and } x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4c}}{2} $$

La distancia entre $(x_0, x_0+c)$ y $(x_1, x_1+c)$ viene dada por $\sqrt {2}\,\sqrt {1+4c}$ .

Dejar $c$ varían, van desde $0$ a $-\frac{1}{4}$ . Utilizando un cambio de variable, establece $u = -\frac{c}{\sqrt 2}$ para que

$\tag 3 u \text{ varies from } 0 \text{ to } \frac{\sqrt 2}{8}$

Estás a pocos pasos de configurar tu

$$\quad \int_{u=0}^{\frac{\sqrt 2}{8}} du$$

integral.

Lo he calculado con Wolfram y el volumen es $0.074048\dots$ que es igual a $\frac{\pi\sqrt{2}}{60}$ .

Respuesta integral (utilizar el cursor como "spoiler"):

$$\quad 2 \pi \,\sqrt 2 \int_{u=0}^{\frac{\sqrt 2}{8}} u \sqrt{1 + 4\sqrt2 \,u} \;du$$

Answer 3

¿Qué tal si utilizamos la matriz de rotación $\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}4&-\sin\frac{\pi}4\\\sin\frac{\pi}4&\cos\frac{\pi}4\end{pmatrix}$ para girar $(x,y)$ y luego se puede integrar a lo largo de $x$ .

Entonces obtengo la ecuación $y^2+x^2-\sqrt2 x+\sqrt2 y+2xy=0$ .

Para resolver y podemos utilizar la fórmula cuadrática: $y=\frac{-(2x+\sqrt2)\pm\sqrt{2+8\sqrt2 x}}2=\frac{-2x-\sqrt2\pm\sqrt2 \sqrt{1+4\sqrt2x}}2$ .

Así que ahora tenemos que integrarnos. Necesitamos $\pi\int_0^{\sqrt2}y^2\operatorname dx$ y esto se puede hacer integrando por partes, como has apuntado.

He utilizado una calculadora integral (demasiado perezoso) para comprobarlo y tu respuesta parece ser correcta.