Razón por la que el caso entero y el caso racional se resuelven de forma diferente

Question

Supongamos que $f$ es continua, $f(0)=1$ y $f(m+n+1)=f(m)+f(n)$ para todos los reales $m, n$ . Demostrar que $f(x) = 1 + x$ para todos los números reales $x$ .

Se trata de una referencia a la resolución de problemas matemáticos de Terence Tao y en el ejercicio proporcionó una pista;

primero demostrar esto para los enteros $x$ , entonces para los racionales $x$ y, finalmente, de verdad $x.$

Las preguntas son las siguientes: ¿Por qué habría que considerar un caso aparte para esta cuestión? ¿No bastaría con un método directo de resolución? ¿Hay otra forma de enfocar la cuestión?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Necesitas el caso entero para demostrar el caso racional. ¿De qué otra manera se puede entender $f(\frac 12)?$ Si tomamos $n=0$ se nos dice $f(m+1)=f(m)+1$ de lo que podemos derivar que $f(x)=x+1$ para los enteros.

Una vez que tenemos eso, podemos sustituir en $m=n=\frac 12$ y obtener $f(2)=2f(\frac 12)$ . Como sabemos $f(2)=3$ porque ya hemos resuelto el caso de los enteros, obtenemos $f(\frac 12)=\frac 32$ . Podemos continuar este enfoque para obtener la función sobre todos los racionales diádicos. Por supuesto, esto no demuestra que no exista una aproximación directa

Como las diádicas son densas, podemos extenderlas a todos los reales. Aquí es donde entra en juego la continuidad. Está claro que los enteros no son suficientes para esto porque no son densos. Como comenta Conrad, si se elimina la restricción de continuidad hay otras soluciones. Necesitas un conjunto denso para que la continuidad funcione. Eso demuestra que hay que calcularla en un conjunto denso antes de cubrir todos los reales.

Answer 2

Antes de continuar con mi solución déjame contarte un interesante Teorema que es necesario para entender la solución que he dado.

Las funciones aditivas continuas son lineales

Volviendo a su problema original Considere la función $g(x)=f(x)-1$ . Tenga en cuenta que $g(x)$ es una función continua. Déjalo a un lado por un tiempo.

Por la ecuación funcional dada $f(y)=f({\color{red}{0}}+{\color{blue}{y-1}}+1)=f({\color{red}{0}})+f({\color{blue}{y-1}})$

Por lo tanto, $f(y)=1+f(y-1)$

Considere además $f(x+y)$

$$f({\color{red}{x}}+{\color{blue}{y}})=f({\color{red}{x}}+{\color{blue}{y-1}}+1)$$ $$f({\color{red}{x}}+{\color{blue}{y}})=f({\color{red}{x}})+f({\color{blue}{y-1}})$$

Por lo tanto, tenemos $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$ Esto equivale a $f(x+y)-1=f(x)-1+f(y)-1$

Por lo tanto, $g(x+y)=g(x)+g(y)$

Por lo tanto, $g(x)=g(1)x$

Lo que implica $f(x)-1=g(1)x$

Por lo tanto, $f(x)=1+(f(x)-1)x$

Porque $f(0+0+1)=f(0)+f(0)=2f(0)=2 \times 1=2$

Concluimos $f(x)=1+x$

Entenderás la pista si demuestras por qué las funciones aditivas continuas son lineales. He añadido un enlace arriba