Demostrando que $\exists f \in X^*$: $f(x) = \|x\|^2$ y $\|f\| = \|x\|$

Question

Ejercicio :

Deje $X$ ser una normativa espacio. Demostrar que para todos los $x \in X$ existe $f \in X^*$, de tal manera que $f(x) = \|x\|^2$ e $ \|f\| = \|x \|$.

Pensamientos :

Me disculpo por no proporcionar una adecuada intento, pero este es uno de los primeros ejercicios que estoy manejando, por lo que me parece en pérdida.

En un principio, pensé acerca de la Representación de Riesz Teorema, lo que podría producir el resultado sencillo, pero el espacio en el que estamos trabajando debe ser un Espacio de Hilbert, que no sabemos en el ejercicio dado.

La segunda posible solución podría (y debería) estar basado en el de Hahn-Banach Teorema (o uno de sus resultados/aplicaciones) pero no veo una salida.

Cualquier sugerencias o elaboraciones será muy apreciada.

Answer 1

Si <span class="math-container">$x=0$</span>, hemos terminado. Ahora que <span class="math-container">$x \in X$</span> y <span class="math-container">$x \ne 0$</span>. Una consecuencia del teorema de Hahn-Banach es la existencia de algunos <span class="math-container">$g \in X^*$</span> con

<span class="math-container">$g(x)=||x||$</span> y <span class="math-container">$||g||=1.$</span>

Ahora es fácil ver que <span class="math-container">$f:=||x||g$</span> tiene las propiedades deseadas.

Answer 2

Sugerencia:

Fijar un $x\in X$. Si $x=0$ , entonces la respuesta es bastante fácil, así que podemos suponer $x\neq 0$.

A continuación, defina un adecuado funcionamiento en el lineal de casco de $x$, que es el lineal subespacio $V:=\{ \alpha \cdot x | \alpha \in \mathbb R\}$. A continuación, extender este funcional en todo el espacio $X$ usando el de Hahn-Banach teorema.