Resolver la ecuación $f(x+y)=\max(f(x),y)+\min(x,f(y))$

Question

Resolver la ecuación $$f(x+y)=\max(f(x),y)+\min(x,f(y))$$

Mi trabajo hasta ahora:

1) $y=0 $

$f(x)=\max(f(x),0)+\min (x,f(0))$

2) $y=-x$

$f(0)=\max(f(x),-x)+\min(x,f(-x))$

Answer 1

Si pone $y=x$ obtienes

$$f(2x) = \max (f(x),x) + \min (f(x),x) = f(x)+x$$ porque si uno de ellos es el máximo el otro es el mínimo.

Sea $g(x)=f(x)-x$ entonces $g(2x)+2x = g(x)+x+x$ de ahí $g(2x)=g(x)$ y así (suponiendo que $f$ es continua) $g(x)$ es una constante, digamos $g(x)=c$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ .

De ello se deduce que $f(x)=x+c$ . Ahora comprobamos para qué $c$ tenemos una solución, necesitamos que

$f(x+y) = x+y+c = \max (x+c,y) + \min(x,y+c)$

claramente podemos encontrar $x,y$ tal que $\max (x+c,y)=x+c$ y $\min(x,y+c)=y+c$ por lo que obtenemos que

$$x+y+c = x+c+y+c$$ se deduce que $c=0$ . Concluimos que $f(x)=x$ es la única solución (continua).

Edición: Sin la continuidad podemos argumentar de la siguiente manera: Obsérvese que $$f(x+y) = \max (f(x),y) + \min (x,f(y))$$ $$f(y+x) = \max (f(y),x) + \min (y,f(x))$$ Si sumamos estas ecuaciones obtenemos

$$2f(x+y) = f(x)+f(y)+x+y$$

Ahora dejemos que $g(x)=f(x)-x$ tenemos $$2g(x+y)+2x+2y = g(x)+x+g(y)+y+x+y$$ y así $$2g(x+y) = g(x)+g(y)$$

Sea $y=0$ tenemos que $2g(x) = g(x)+g(0)$ por lo tanto $g(x)=g(0)$ concluimos que $g(x)$ es una constante.

Answer 2

Desde $$\max \{a,b\} = {a+b+|a-b|\over 2}\;\;\;\;{\rm and }\;\;\;\;\min \{a,b\} = {a+b-|a-b|\over 2}$$ obtenemos $$ \boxed{2f(x+y) = f(x)+y+|f(x)-y|+x+f(y)-|x-f(y)|}$$ Sea $c=f(0)$ . Para $y=0, x=t$ :

$$ f(t) = |f(t)|+t+c-|t|$$

y para $x=0,y=t$ :

$$f(t) =c+t+|c-t| -|f(t)|$$

Sumando las dos últimas obtenemos: $f(t) = t+c$ para todos $t$ .

Introduciendo esto en la ecuación del recuadro obtenemos $$|x-y+c| = |x-y-c|$$ que es válida para todos los $x,y$ también para $x=c$ y $y=0$ y así $c=0$ . Así pues, la única solución es $f(x)=x$ .