¿La antiderivada de una función impar es par?
La respuesta que da el libro es que sí.
Sin embargo, he encontrado un contraejemplo definido en $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ : $$f(x)=\begin{cases}\ln |x|+1& x<0\\\ln |x|&x>0\end{cases}$$ Su derivado es $\frac 1x$ que es una función impar.
Pregunta: ¿es correcto mi contraejemplo?
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Creo que la pregunta implica que la función impar en cuestión debe contener $0$ en su dominio. De lo contrario, no se puede integrar a través de un intervalo simétrico
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En realidad, puedes hacer esto para cualquier función impar si permites una definición de función a trozos, ya que hay infinitas antiderivadas para una función dada --- simplemente elige dos que difieran por una constante, y luego júntalas. Por ejemplo, considere $F(x) = x^4 + [x>0]$ , donde $[\cdot]$ es el soporte Iverson (igual a $1$ cuando la condición es verdadera, en caso contrario $0$ ), que es una antiderivada de $f(x) = x^3$ .
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@apnorton No lo creo. Su $f(x)$ no es diferenciable en $x=0$ , se contradice con la definición de antiderivada.
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Un ejemplo mucho más sencillo (y una función continua) es $f(x) = x$ . Su antiderivada es $x^2 + C$ , donde $C$ es una constante arbitraria. La antiderivada será par si y sólo si $C = 0$ por lo que, en general, la antiderivada de una función impar no es par.
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$x^2 + C$ es incluso para cualquier $C$ . Para el caso contrario de si la antiderivada de una función par es impar, este punto sería válido.
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@1123581321 Las constantes son pares.
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@KemonoChen Definir mi función sobre $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ como el tuyo. ;-)