Homología del cociente de dos copias de$\mathbb S^2$.

Question

He estado tratando de resolver el siguiente ejercicio. Mi conocimiento de la homología se reduce a Mayer-Vietorius y relación de homología, así que me gustaría saber si el problema puede ser resuelto utilizando estas herramientas.

Primero de todo, para el cálculo de la homología de grupos de $X$, he utilizado el de Mayer-Vietorius largo de la secuencia exacta. Para que yo considere los siguientes conjuntos de $X_1 \simeq S^2, X_2 \simeq S^2$ versiones ampliadas de $A$ e $B$ , de modo que su intersección es un conjunto que puede ser deformated en el ecuador, que es $X_1 \cap X_2 \simeq S^1$. Calcular el largo de la secuencia exacta, la parte interesante es la siguiente

$$\cdots\rightarrow \underset{0} {\underbrace{H_{3}\big( X)}} \rightarrow \underset{0} {\underbrace{H_{2}\big( \mathbb S^1)}} {\rightarrow } \underset{ \mathbb Z \oplus \mathbb Z} {\underbrace{H_{2}\big( \mathbb S^2) \oplus {H_{2}\big( \mathbb S^2)}}} \rightarrow H_2\big(X\) \rightarrow \underset{\mathbb Z} {\underbrace{H_{1}\big( \mathbb S^1)}} {\rightarrow} 0 \cdots $$ Como $\mathbb Z$ es libre, esto significa que se divide de modo que $H_2(X) = H_1(\mathbb S^1) \oplus H_2(\mathbb S^2) \oplus H_2 (\mathbb S^2)$. Así que la homología de grupos de $X$ son los siguientes.

$$H_n(X) = \left\{ \begin{array}{cl} \mathbb{Z} & \text{if} \ k=0 \\ \mathbb{Z^3} & \text{if} \ k=2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right.$$

Para la segunda parte del ejercicio, estoy teniendo un poco más de problemas. He intentado utilizar la relación de homología de secuencia exacta pero no es muy inspirador. Yo no podía entender lo que la inclusión de $i_{*}:H_2(A) \to H_2(X)$ . Así que traté de usar que el par $(X,A)$ es tal que $H_n(X,A) \simeq H_n(X/A)$ (tengo que comprobar que es una fuerte deformación de retracción). Esto parece como una idea mucho mejor, pero yo no podía comprender lo que el espacio de $X/A$ es. Estoy pensando que es $\mathbb S^2 \vee \mathbb S^2 $ como todos los de la esfera $A$ se identifica con el ecuador y, a continuación, el ecuador se identifica en un punto. En ese caso es el mismo que $\mathbb S^2$ con el ecuador identificado que parece ser $\mathbb S^2 \vee \mathbb S^2 $. Gracias de antemano!

Answer 1

Su Mayer-Vietoris cálculo de $H_n(X)$ es correcta. Alternativamente, uno puede deducir que esta usando la siguiente cadena de homotopy equivalencias:

El primer espacio es tu espacio $X$: dos esferas pegado a lo largo de su ecuadores, que estamos dibujando con una sentada en el interior de la otra. El segundo espacio es una esfera pegado a un cilindro largo de uno de sus ecuadores. El tercero es un cilindro con dos medio tapas y la última es una cuña suma de tres esferas. Está claro que el último espacio de la homología de grupos a los que usted describe.

Para la segunda mitad, nos deja escribir los correspondientes bits de la larga secuencia exacta. Uno de ellos es

$0\to H_1(X,A)\to H_0(A)\to H_0(X)\to 0,$

ya que usted sabe que $H_1(X)=0$ e $H_0(X,A)=0$. Ahora $H_0(A)\simeq H_0(X) \simeq \Bbb{Z}$, y el mapa entre ellos es surjective y por lo tanto un isomorfismo, por lo $H_1(X,A)=0$.

El otro elemento es

$0 \to H_3(X,A)\to H_2(A)\to H_2(X)\to H_2(X,A)\to 0$

como usted sabe, $H_3(X)\simeq H_1(A)=0$, y también sabe que $H_2(A)\simeq \Bbb{Z}$ e $H_2(X)\simeq \Bbb{Z}^3$. Uno puede describir el mapa de $H_2(A)\to H_2(X)$ explícitamente, ya que es la inducida por la inclusión. El mapa de $\sigma$ que se expande radialmente un estándar $2$-simplex a una $2$-esfera es un generador de $H_2(A)$. Del mismo modo, si suponemos $A$ se encuentra dentro de $X$ como en el dibujo de arriba, podemos elegir generadores $x_1,x_2,x_3$ de $H_2(X)$ como en la siguiente imagen:

De esta manera, la identificación de $H_2(X)\simeq \Bbb{Z}^3$ por el mapa $x_i \mapsto e_i$ e $H_2(A)\simeq \Bbb{Z}$ por $\sigma\mapsto 1$, vemos que el mapa de $H_2(A)\to H_2(X)$ induce el mapa de $\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}^3$ dado por $1\mapsto (0,1,0)$. Desde este mapa es inyectiva, $H_3(X,A)=0$, y por otra parte $H_1(X,A)\simeq \Bbb{Z}^3/\langle (0,1,0)\rangle\simeq \Bbb{Z}^2$.

Su argumento de que el uso de $H_n(X,A)\simeq \tilde{H}_n(X/A)$ (aviso es la reducción de la homología de grupos) es correcto así, y usted puede comprobar que la homología de grupos de la fórmula anterior está de acuerdo con esto. A ver que $X/A$ es homeomórficos a una cuña de esferas, tenga en cuenta que el mapa de $X\to S^2\vee S^2$ tomando el hemisferio superior de $B$ a todos los ámbitos menos en un punto único, hemisferio inferior a la otra esfera en una manera similar, y todos los de $A$ para el encolado punto induce un continuo bijection $X/A\to S^2\vee S^2$. Desde $X/A$ es compacto y $S^2\vee S^2$ es Hausdorff, este es un homeomorphism.