Prueba de que $n^3+2n$ es divisible por $3$

Question

¡Estoy tratando de refrescar mis conocimientos para la escuela en otro mes, y estoy luchando con las pruebas más simples!

Problema:

Para cualquier número natural $n , n^3 + 2n$ es divisible por $3.$ Esto tiene sentido

Prueba:

Paso base: Si $n = 0,$ entonces $n^3 + 2n = 0^3 +$ $2 \times 0 = 0.$ Así que es divisible por $3.$

Inducción: Supongamos que para un número natural arbitrario $n$, $n^3+ 2n$ es divisible por $3.$

Hipótesis de Inducción: Para probar esto para $n+1,$ primero intenta expresar $( n + 1 )^3 + 2( n + 1 )$ en términos de $n^3 + 2n$ y usa la hipótesis de inducción. Entendido

$$( n + 1 )^3+ 2( n + 1 ) = ( n^3 + 3n^2+ 3n + 1 ) + ( 2n + 2 ) \{\text{Solo simplificando}\}$$

$$ = ( n^3 + 2n ) + ( 3n^2+ 3n + 3 ) \{\text{simplificando y reagrupando}\}$$ $$ = ( n^3 + 2n ) + 3( n^2 + n + 1 ) \{\text{factorizando el 3}\}$$

lo cual es divisible por $3$, porque $(n^3 + 2n )$ es divisible por $3$ según la hipótesis de inducción. ¿Qué?

¿Alguien puede explicar esa última parte? No veo cómo puedes afirmar que $(n^3+ 2n ) + 3( n^2 + n + 1 )$ es divisible por $3.

Answer 1

En la hipótesis inductiva, asumiste que $n^3 + 2n$ era divisible por 3 para algunos $n$, y ahora estás demostrando lo mismo para $n+1$. Es como derribar fichas de dominó: si puedes probar que la primera ficha cae (caso base) y cada ficha derriba a la siguiente (paso inductivo), entonces eso significa que todas las fichas eventualmente caerán.

Sabes que $(n^3 + 2n) + 3(n^2 + n + 1)$ es divisible por 3 porque $n^3 + 2n$ lo es (gracias a la hipótesis inductiva) y $3(n^2 + n + 1)$ también lo es (porque es 3 veces un entero). Así que su suma también lo es.

Answer 2

Presumiblemente estás buscando una forma de comprender el problema de inducción, pero puedes notar que $n^3+2n = n^3 - n + 3n = (n-1)(n)(n+1) + 3n$. Dado que cualquier tres enteros consecutivos tiene un múltiplo de tres, estamos sumando dos múltiplos de tres y obtenemos otro múltiplo de 3.

Answer 3

$$n^3+2n=n(n^2+2)$$

Si $n$ es divisible por $3$, entonces obviamente, también lo es $n^3+2n$ porque puedes factorizar $n$.

Si $n$ no es divisible por $3$, es suficiente demostrar que $n^2+2$ es divisible por 3. Ahora, si $n$ no es divisible por $3$, $n=3k+1$ o $n=3k+2$ para algún entero $k$. Sustituye eso en $n^2+2$ y obtendrás $9k^2+6k+3$ y $9k^2+6k+6$ respectivamente. Ambos son divisibles por 3.

Answer 4

¿Por qué no pruebas la validez de esto usando aritmética modular?

• Toma $n \equiv 1 \pmod 3$ y fácilmente obtenemos $3 \equiv 0 \pmod 3$.
• Si pruebas $n \equiv 2 \pmod 3$, obtienes $8+4\equiv 12 \equiv 0 \pmod 3$. así que has terminado. Sin feas inducciones (aunque este caso en particular no es tan sucio).

Una idea útil al pensar en la inducción es pensar en los dominós. Si sabes que algo es cierto para una ficha fija y si sabes que ser cierto para una ficha significa que es cierto para el vecino de la derecha, entonces es como que al empujar una ficha, todas las demás caen.

Answer 5

En una prueba por inducción, tratamos de demostrar que una afirmación es verdadera para todos los enteros $n.$ Para hacer esto, primero verificamos el caso base, que es el "Paso Básico" arriba. Luego, tenemos la hipótesis de inducción, donde asumimos que la afirmación es verdadera para un entero $k.$ Usando este hecho, demostramos que la afirmación también es verdadera para el siguiente entero $k+1.$ Esto produce una escalera de arranque donde usamos el caso base $(n=1)$ para mostrar que la afirmación es verdadera para $n=2$ a través de la hipótesis inductiva, y luego para $n=3,$ etc, hasta el infinito; esto muestra que la afirmación es verdadera para todos los enteros $n.

Aquí, afirmamos que $( n^3+ 2n ) + 3( n^2+ n + 1 )$ es divisible por $3$ porque esta era la hipótesis inductiva; estábamos usando esto para mostrar que $[(n+1)^3 + 2(n+1)] + 3[ (n+1)^2 + (n+1) + 1 ].$