Digamos que tenemos un entero $n$∊ℕ₀ y una secuencia de $n+1$ números reales $\alpha_k\in[0,\infty)∀k$, donde $k=0\dots n$, y el uso de $\log^{[k]}$ para denotar $k$ funcionamientos del logaritmo ($\log^{[0]}x\equiv x$, $\log^{[1]}x\equiv \log x$, $\log^{[2]}x\equiv \log\log x$, etc), Yo conjetura de que, $∀n, $ integral $$\int_{e\uparrow\uparrow n}^\infty{dx\over\prod_{k=0}^n(\log^{[k]}x)^{\alpha_k}}$$ diverges, when $\alpha_k=1∀k\leq n$, or when with ascending $k$ the first $\alpha_k≠1$ is $<1$; and converges when with ascending $k$ the first $\alpha_k≠1$ is $>1$.
En la integral dada el límite inferior es elegido simplemente para mantener la función en el denominador bien claro de tomar cualquier argumento que podría resultar en un valor negativo que se ingresa en el logaritmo - la convergencia|divergencia de la integral es determinado únicamente por el comportamiento de el integrando como argumento $\to\infty$.
Me pregunto si esta suposición es correcta. Mi razonamiento para suponer que se es que si la variable $y$ ser sustituido por $\log^{[n]}x$, luego en el denominador tenemos sucesivas órdenes de funcionamiento de la exponencial de a$y$ de derecha a izquierda ... pero cada uno elevado a la potencia de su índice de $\alpha_k$ , en orden de izquierda a derecha; y en el numerador tenemos el mismo producto de los mismos factores, por razón de la regla de la cadena, pero cada uno con la unidad de exponente. Así que teniendo en cuenta los factores de izquierda a derecha, la primera que no completamente cancelar será la primera en que $\alpha_k$ difiere de la unidad; y también la de más alto orden de aplicación de la función exponencial: y si ese $a_k$ es $<1$ el remanente será en el numerador, y si $>1$, en el denominador. Y la integral se difieren en el primer caso, y convergen en el segundo, como su posterior restos serán completamente anulado, sin importar el tamaño de su exponente, como una exponencial de una variable siempre se sobrepone a un mero poder de una variable, independientemente de los tamaños relativos de la escala de la exponencial y el grado de la potencia ... y la comparación será al menos que. Finalmente, en el caso de todas las $\alpha_k$ hasta el último ser $=1$, no será completa cancelación de la exponenciales; y nos quedaremos con $$\int_{e\uparrow\uparrow n}^\infty{dy\over y^{\alpha_n}} ,$$ the convergence|divergence of which depends on $\alpha_n$ en el modo familiar.
También me gustaría suponer que este teorema - si, de hecho es uno (y la pregunta aquí es, esencialmente, si él es uno, y no meramente una suposición, o incorrectamente infererred) - se traduce en una suma de números enteros. Me abstendré de totalmente, para explicar la lógica de que conjeturar; pero, básicamente, es que si la correspondencia entre Σ & ∫ de $1/x$ es por razón de la asintóticamente plana -ness del logaritmo, entonces podría razonablemente se espera que cuando las funciones que son progresivamente sin embargo, asintóticamente, más planas están incluidos.
