Misteriosa secuencia polinomial

Question

¿Alguien puede identificar esta secuencia polinomial? ¿Es conocido en matemáticas? Estoy interesado en varias propiedades de esta secuencia.
Me gustaría encontrar $P(n)$ , $n\in \mathbb{Z}^+$

$$\begin{align} P(0)&= 1\\ P(1)&= a\\ P(2)&= a^2+b\\ P(3)&= a^3+2ab\\ P(4)&= a^4+3a^2b+b^2\\ P(5)&= a^5+4a^3b+3ab^2\\ P(6)&= a^6+5a^4b+6a^2b^2+b^3\\ P(7)&= a^7+6 a^5 b+10 a^3 b^2+4 a b^3\\ P(8)&= a^8 + 7 a^6 b + 15 a^4 b^2 + 10 a^2 b^3 + b^4\\ P(9)&= a^9 + 8 a^7 b + 21 a^5 b^2 + 20 a^3 b^3 + 5 a b^4\\ P(10)&= a^{10} + 9 a^8 b + 28 a^6 b^2 + 35 a^4 b^3 + 15 a^2 b^4 + b^5 \end{align}$$

Más pasos a petición.

Estaré agradecido por cualquier consejo!

Answer 1

Insinuación. Tenga en cuenta que se mantiene la siguiente recurrencia: para $n\geq 2$ , $$P(n)=aP(n-1)+bP(n-2). Se relacionan con los polinomios de Fibonacci . La página wiki da una lista de propiedades . Por ejemplo tenemos que $$P(n)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-k}{k}a^{n-2k}b^k.

Answer 2

Tratar:

$$- \ frac {2 ^ {- n} \ left (\ left (a- \ sqrt {a ^ 2 +4 b} \ right) ^ n- \ left (\ sqrt {a ^ 2 +4 b} + a \ derecha) ^ n \ derecha)} {\ sqrt {a ^ 2 +4 b}}$$