Encontrar el lugar geométrico de los puntos por encontrar valores propios

Question

Deje $\boldsymbol{x}=\left(\begin{matrix}x\\ y\end{matrix}\right)$ ser un vector en dos dimensiones, el espacio real. Por encontrar los autovalores y autovectores de a$\boldsymbol{M}$, dibujar el lugar geométrico de los puntos de $\boldsymbol{x}$ que satisfacer $$ \boldsymbol{x^TMx}=4$$ dado que $$\boldsymbol{M}=\left(\begin{matrix}&5 &\sqrt{3}\\ &\sqrt{3} &3\end{matrix}\right). $$

He encontrado dos autovalores ser $\lambda_1 = 6$ e $\lambda_2=2$, y los correspondientes vectores propios son $$ \boldsymbol{v}_1=\left(\begin{matrix}\sqrt{3}\\ 1\end{matrix}\right)\quad\text{ and }\quad \boldsymbol{v}_2=\left(\begin{matrix}1\\ -\sqrt{3}\end{matrix}\right)$$ (si no me equivoco :) ), pero... ¿y ahora qué? Francamente, yo no puedo averiguar cómo hacer esto útil para encontrar un $\boldsymbol{x^TMx}=4$.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Algunos consejos (como usted lo solicitó):

• Lo que estamos estudiando es una ecuación de segundo grado en $x$ e $y$, por lo que es una sección cónica de la curva (elipse, hipérbola o parábola).

• Después de encontrar los autovalores y autovectores, se puede utilizar para diagonalize la matriz $\mathbf{M}$.

• El proceso de diagonalización es realmente sólo un cambio de sistema de coordenadas, por ejemplo, de $(x,y)$ coordenadas de a $(u,v)$ coordenadas

• En $(u,v)$ coordenadas, ya que estamos tratando con una matriz diagonal, la ecuación toma la forma $au^2 + bv^2 = 1$. Esta es una sección cónica de la curva cuya geometría es probable que entender.

Answer 2

Los vectores propios son ortogonales y abarcan <span class="math-container">$\Bbb R^2$</span>. Esto quiere decir <span class="math-container">$\mathbf v=\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}=c_1\mathbf x_1+c_2\mathbf x_2$</span>.

<span class="math-container">$\mathbf v^TM\mathbf v=(c_1\mathbf x_1^T+c_2\mathbf x_2^T)M(c_1\mathbf x_1+c_2\mathbf x_2)\=(c_1\mathbf x_1^T+c_2\mathbf x_2^T)(c_1\lambda_1\mathbf x_1+c_2\lambda_2\mathbf x_2)\=c_1^2\lambda_1||\mathbf x_1||^2+c_2^2\lambda_2||\mathbf x_2||^2\=24c_1^2+8c_2^2=4$</span>

<span class="math-container">$\implies6c_1^2+2c_2^2=1$</span>