¿Desea $HK = G$ implica que $KH = G$ cuando $H,K$ no son subgrupos?

Question

Deje que $G$ ser un grupo finito y dejar $H$ y $K$ ser dos "subconjuntos" de $G$ de tal manera que $HK = G$ . ¿Eso implica que $KH = G$ ?

Desde $H$ y $K$ no son subgrupos, no podemos usar la fórmula $o(HK) = \frac {o(H)o(K)}{o(H \cap K)}$ .

Creo que esto es falso y estoy buscando contra-ejemplos.

Gracias.

Answer 1

Espero no haber cometido ningún error estúpido :)

Dejemos que $G=S_3$ y $$H= \{ e, (1,2) \} \\ K=\{ e, (1,3), (1,2,3) \}$$

Entonces $$HK= S_3$$ pero $$(1,3)(1,2)=(1,2,3)=(1,2,3)e$$ demostrando que $KH$ puede tener como máximo 5 elementos distintos.