¿Se debe continua bijections compacto?

Question

Decimos que un mapa de $f:X \to Y$ es compacto si compact conjuntos se asignan a los conjuntos compactos.

Si $f:X \to Y$ es un compacto bijection, debe ser continua?

El bijection condición es necesaria. De lo contrario, considerar debidamente construido constante a trozos función de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como un contraejemplo.

Usted puede notar que nunca se especifica qué es exactamente $X,Y$ . Primero vamos a considerar simplemente el caso de que $X=\mathbb{R}^n$, $Y=\mathbb{R}^m$. Si eso se mantiene, entonces nuestra forma de trabajo a $X,Y$ ser genérico métrica espacios. Si eso se mantiene, entonces nuestra forma de trabajo a $X,Y$ ser espacios topológicos [EDIT: no es cierto generales de espacios topológicos, ver los comentarios].

Answer 1

Sí, esto es cierto para cualquier métrica espacios o, más en general para cualquier compacta generado espacios de Hausdorff. Un espacio de $X$ es generado de forma compacta si un subconjunto $A\subseteq X$ es cerrado iff $A\cap K$ es cerrado en $K$ para todos los subespacios compactos $K\subseteq X$. Equivalentemente, $X$ es generado de forma compacta iff cada mapa de $X$ a otro espacio, que es continuo cuando restringida a cada subconjunto compacto de $X$ es continua. Tenga en cuenta que cualquier espacio métrico es compacta generado, desde closedness de conjuntos es detectado por secuencias convergentes y el cierre de cualquier secuencia convergente es compacto.

Aquí está la declaración precisa en lo que parece ser la máxima generalidad.

Deje $X$ ser una compacta generado espacio de Hausdorff y deje $Y$ ser un espacio de Hausdorff. Deje $f:X\to Y$ ser una compacta de inyección. A continuación, $f$ es continua.

Para mostrar que $f$ es continua, basta para mostrar su restricción a cualquier subconjunto compacto de $X$ es continua. Por lo tanto, vamos a$K\subseteq X$ ser compacto. Entonces la restricción de $f$ a $K$ es un cerrado mapa, debido a que $Y$ es de Hausdorff. Esto significa que el inverso de la restricción $g:f(K)\to K$ es un continuo bijection. Desde $f(K)$ es compacto y $K$ es Hausdorff, esto implica $g$ es un homeomorphism. Por lo tanto $f|_K=g^{-1}$ es continua, como se desee.

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Aquí hay algunos ejemplos rápidos para mostrar cada una de las hipótesis anteriores son necesarios.

• $X$ debe ser generado de forma compacta: Si $X$ es el 1-punto Lindelöfification de un incontable espacio discreto y $Y$ es el mismo conjunto con la topología discreta, a continuación, $X$ e $Y$ son Hausdorff y el mapa de identidad $X\to Y$ es compacto, pero no continua.
• $X$ debe ser Hausdorff: Si $X$ es de 2 puntos indiscreta espacio y $Y$ es de 2 puntos discretos del espacio, a continuación, $X$ es generado de forma compacta, $Y$ es Hausdorff, y un bijection $X\to Y$ es compacto, pero no continua.
• $Y$ debe ser Hausdorff: Si $X=[0,1]$ con la topología usual y $Y=[0,1]$ con la topología de que la única trivial conjunto abierto es $\{0\}$, a continuación, $X$ es generado de forma compacta y Hausdorff y el mapa de identidad $X\to Y$ es compacto, pero no continua.