Intento:
Trabajamos con $A'$, la matriz con entradas de $a_{ij}\mod 3$. Tenga en cuenta que cubicación $A'$ da $I$ como $I$ es modificado por el considerando los restos de $mod$ $3$. Para el resto de la prueba, no vamos a diferenciar entre las $A$ e $A'$. El polinomio mínimo de a$A$ divide $x^{3} - 1$ para cada autovalor $\lambda$ de $A$ satisface $\lambda^{3} = 1$. La traza de $A^3$ es claramente $n$ como $A^3 = I$.
Siguiente, tenga en cuenta que para enteros $a_1, ...., a_n$ tenemos que $(a_1 +... + a_n)^k = a_1^{k} + a_2^{k} ... + a_n^{k}\mod k$.
Ahora esto es donde estoy atascado. Me gustaría decir que esto implica $\operatorname{tr}(A)^3 =\operatorname{tr}(A^3)$, pero ¿por qué es que $\operatorname{tr}(A^3)$ es la suma de los cubos de las entradas de la diagonal de a$A$? Sólo puedo decir que $\operatorname{tr}(A^3)$ es la suma de los cubos de los autovalores de a$A$, pero estos autovalores no necesita ser enteros, por lo que el argumento falla.
Si soy capaz de demostrar esto, entonces, el resultado de la siguiente manera ya que he a$a^3 = a\mod 3$ para todos los $a$ en {$0,1,2$}.
Edit: puedo confirmar que mi prueba funciona desde $\operatorname{tr}(A)^p = \operatorname{tr}(A^p)\mod p$ primer $p$ como se dijo aquí https://rjlipton.wordpress.com/2009/08/07/fermats-little-theorem-for-matrices/
Pero no puedo encontrar la prueba de esta declaración en sí.
