$\operatorname{Aut} (G)$ es isomorfo para$\operatorname{Aut} (H)$, entonces ¿es necesario que$G$ sea isomorfo para$H$?

Question

Si $\operatorname{Aut} (G)$ es isomorfo a $\operatorname{Aut} (H)$ a continuación, es necesario que $G$ es isomorfo a $H$?

Mi respuesta es no. $\operatorname{Aut} (\mathbb{Z)}$ es isomorfo a $Z_2$ e $\operatorname{Aut} (Z_3)$ también es isomorfo a $U(3)$, que es isomorfo a $Z_2$. Pero $\mathbb Z$ no es isomorfo a $Z_3.$ Correcta? Gracias

Answer 1

Además de su ejemplo, hay incluso un ejemplo con grupos finitos , como $$ {\ rm Aut} (S_3) \ cong {\ rm Aut} (C_2 \ times C_2) \ cong S_3, $$ pero $S_3$ is por supuesto no isomorfo a $C_2\times C_2$ .

Answer 2

Como otro ejemplo, tanto el trivial grupo $Id$ y el grupo cíclico de orden dos $C_2$ han trivial automorphism grupo: $$\operatorname{Aut}(Id)\cong Id\cong\operatorname{Aut(C_2)}$$

Esta es la más pequeña posible ejemplo...

(Estos son los únicos dos grupos de $G$ con $\operatorname{Aut}(G)\cong Id$. Ver aquí para una prueba.)

Answer 3

Incluso puedes usar grupos finitos no isomorfos del mismo orden. El ejemplo más pequeño es $Aut(C_4\times C_2)\cong Aut(D_8)\cong D_8$ .