Integral definida en formato de relación funcional.

Question

Si $$2f(x) + f(-x) = \frac{1}{x}\sin\Biggl(x-\frac{1}{x}\Biggl) entonces encuentre el valor de $$\int_{\frac{1}{e}}^ef(x)dx (no se debe a que la función sea par o impar) No sé por dónde empezar, no tengo mucha experiencia en la resolución de problemas funcionales. relaciones como éstas y ni siquiera puedo llegar a un enfoque para resolverlo, alguien puede ayudar

Answer 1

$\textbf{Hint:}$ $2f(x) + f(-x)=2f(-x) + f(x)\implies f(-x)=f(x)$. Por lo $$f(x)=\dfrac{1}{3x}\sin\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$$ $$f\left(\dfrac1x\right)=-x^2f(x) \label{a}\tag{1}$$

$$\displaystyle\int_\frac1e^ef(x)dx=\int_\frac1e^1f(x)dx\:+\:\int_1^ef(x)dx$$

Para $1^{st}$ integral, $y=\dfrac1x \implies \dfrac{-dy}{y^2}=dx$ con límites de $\dfrac1e=x=\dfrac1y\implies y=e$

a $1=x=\dfrac1y\implies y=1$.

$$\implies \int_\frac1e^1f(x)dx=\displaystyle\int_e^1 f\left(\dfrac1y\right)\dfrac{-dy}{y^2}=\int_1^e f\left(\dfrac1y\right)\dfrac{dy}{y^2}\overset{(1)}{=}\int_1^e -y^2f(y)\dfrac{dy}{y^2}=-\int_1^e f(y)dy$$

Por lo tanto $$\displaystyle\int_\frac1e^ef(x)dx=0$$

Answer 2

La integral es cero.

Prueba:

Con $g(x) = \frac{1}{x}\sin(x-\frac{1}{x})$ tenemos $2f(x)+f(-x) = g(x) = g(-x) = 2f(-x) + f(x)\implies f(-x)=f(x)$ lo que da

$$f(x) = \frac{1}{3 x}\sin(x-\frac{1}{x})$$

Ahora la integral se puede dividir como

$$i = \int_{\frac{1}{e}}^ef(x)\,dx =\int_{\frac{1}{e}}^1f(x)\,dx+\int_1^ef(x)\,dx=i_1 + i_2$$

Sustituyendo $x\to \frac{1}{y}$ es decir $dx \to - \frac{1}{y^2}dy$ en la segunda integral da

$$i_2=\int_1^\frac{1}{e}f(x)\,dx = \int_{\frac{1}{e}}^1 \frac{1}{y^2}f(\frac{1}{y})\,dy=\int_{\frac{1}{e}}^1 \frac{1}{y^2}\frac{1}{3\frac{1}{y}}\sin(\frac{1}{y}-y)\,dy\\=\int_{\frac{1}{e}}^1 \frac{1}{3 y}\sin(\frac{1}{y}-y)\,dy=-\int_{\frac{1}{e}}^1 \frac{1}{3 y}\sin(y-\frac{1}{y})\,dy=- \int_{\frac{1}{e}}^1f(y)\,dy= - i_1$$

Por lo tanto la integral en cuestión es $i = i_1 +(- i_1) = 0$
Q. E. D.

Observación: a partir de la prueba es evidente que "$e$" puede ser cualquier número real positivo.