La definición formal de "ángulo"

Question

Mi principal pregunta es sobre la definición de "ángulo". Muchos libros de álgebra lineal definen el ángulo entre dos vectores en términos de su producto interno. Yo entiendo superficialmente que esto corresponde a la ley del coseno en la geometría euclidiana. Pero como la geometría axiomática y la geometría analítica parecen tener enfoques completamente diferentes en el tratamiento de los conceptos geométricos, me gustaría saber qué motiva exactamente esta definición, y cuáles son los resultados de esta definición.

En primer lugar, para que esta definición funcione, necesitamos definir la función del seno y del coseno. Por lo general, estas funciones se introducen primero y, por lo tanto, se definen y sólo se definen dentro de un contexto puramente geométrico. En particular, la mayoría de las definiciones elementales de estas dos funciones requieren una comprensión previa de la idea de ángulo, como la definición que utiliza un círculo unitario. Por lo tanto, mi pregunta es, ¿cómo podemos tener una función coseno válida que funcione fuera de la geometría axiomática antes de que podamos incluso definir "ángulo" en $ \mathbb {R}^n$ a través de la función del coseno? Sé que la función coseno puede ser definida a través de una serie, pero de nuevo, ¿cómo justificamos esta definición si la usamos para definir el "ángulo"?

En segundo lugar, usando estas definiciones, junto con algunas otras definiciones para conceptos geométricos elementales como los planos, se puede probar todo lo que es demostrable a través de los axiomas de la geometría de Euclides usando sólo el álgebra en $ \mathbb {R}^n$ sin ninguno de esos axiomas? Si no, ¿qué otros axiomas debemos incluir para hacerlo?

¡Gracias!

Answer 1

Esta es una gran pregunta. Y la primera parte de la respuesta a "¿Cómo defines el ángulo?" es "De muchas maneras diferentes". Y cuando lo defines de una nueva manera, tienes cierta responsabilidad de demostrar que esa nueva manera es coherente con las antiguas.

Lo siguiente que hay que tener en cuenta es que hay una diferencia entre un ángulo y la medida de ese ángulo. En la geometría clásica, un "ángulo" es un par de rayos con un punto de partida común (o un par de líneas que se cruzan --- depende de tu libro de texto), mientras que la medir de un ángulo... bueno, en realidad no es una noción tan clásica: los geómetras griegos se inclinaban más por hablar de ángulos congruentes, y dejar la "medida" para los "simples" comerciantes, etc. Pero si nos fijamos en una visión moderna de la geometría clásica (por ejemplo, los axiomas de Hilbert) entonces la medida de un ángulo es un número --- claramente un tipo de entidad diferente de un "par de rayos".

Si vas a hablar de movimiento periódico, entonces es útil pensar en un rayo que comienza apuntando a lo largo de la $x$ -y luego girando en sentido contrario a las agujas del reloj para que forme ángulos cada vez mayores (es decir, "ángulos de medida cada vez mayor") con el $x$ -eje. Pero cuando se alcanza una medida de $2\pi$ radianes o $360$ grados, se vuelve al mismo "ángulo" que consiste en dos copias del positivo $x$ -eje. Desde el punto de vista del análisis, es bueno pensar que la "medida del ángulo" sigue aumentando, por lo que hablamos de un ángulo de, digamos, $395$ grados.

Justo en ese momento, el analista/físico/comerciante se ha desviado del geómetra. Para los ángulos pequeños, están de acuerdo; para los grandes, no. Pero no es un gran problema: la gente suele entender lo que ocurre a partir del contexto.

Si pensamos que nuestro ángulo está situado en el origen (ahora soy un coordenadas geómetra en lugar de euclidiano), los dos rayos subtienden un arco de la circunferencia unitaria en el origen. Y algunas personas (¡incluido yo!) podrían llamar a eso arco un "ángulo". Así que para esa gente, a la que llamaré gente de la "teoría de la medida", un ángulo es un arco del círculo unitario. Y la medida del ángulo es simplemente la medida del arco... que tiene que ser definida mediante nociones de integración, etc. Es muy natural que una persona así diga "oh... y me gustaría decir que un 'ángulo' no es sólo un arco, sino cualquier subconjunto (medible) del círculo unitario". Una vez dicho esto, la "aditividad" de los ángulos se deduce de la aditividad de las medidas. (¡No quiero decir que esto sea fácil! Hay muchas cosas que decir sobre las medidas rotacionalmente invariantes, etc.)

Esa generalización de la teoría de la medida permite ahora definir cosas como los "ángulos sólidos" en el espacio 3: un ángulo sólido es simplemente un subconjunto (medible) de la esfera unitaria. Pero el enfoque de la teoría de la medida también pierde algo: ya no existen los ángulos "en el sentido de las agujas del reloj" y "en sentido contrario a las agujas del reloj", al menos no sin un buen número de bailes.

---

Volviendo a tu pregunta sobre la ley de los cosenos: hay una especie de enfoque agradable para relacionar los cosenos con la geometría: demuestras que hay un par de funciones $s$ y $c$ (para "seno" y "coseno", por supuesto) definidos en la recta real que satisfacen tres o cuatro propiedades básicas, como $c(0) = 1$ y $c(x-y) = c(x)c(y) + s(x) s(y)$ . Esto se hace en varios pasos: primero, se demuestra que para los múltiplos racionales de $\pi$ (que aparece en una de las propiedades), los valores de $c$ y $s$ están determinados de forma única (es decir, se demuestra que hay como máximo un par de funciones de este tipo). Dejando que $P$ denotan estos múltiplos racionales de $\pi$ , se demuestra entonces que las funciones $c$ y $s$ son periódicas de periodo $2\pi$ (en $P$ ), y luego utilizar algo de geometría clásica para mostrar explícitamente que pueden definirse en el conjunto de todos los ángulos geométricos con medida de ángulo geométrico en el conjunto $P' = P \cap [0, 2\pi)$ . Entonces usted muestra que en $P$ estas funciones son continuas, y aplicar el teorema de que toda función continua sobre un subconjunto denso de un espacio métrico admite una extensión continua única al propio espacio métrico, lo que permite definir $c$ y $s$ en todos los $\Bbb R$ . Ahora bien, este par de funciones tiene exactamente las propiedades que la definición geométrica asignaría al "coseno" y al "seno" [hecho que surge al demostrar que $c$ y $s$ puede definirse en ángulos geométricos con medidas en el conjunto $P'$ ]. Así que tienes funciones seno y coseno con todas las propiedades que necesitas, pero sin cálculo. (Creo que todo este desarrollo se lleva a cabo en el libro de Cálculo de Apostol). Finalmente, puedes ver la definición de producto punto de los ángulos como una forma de definir una nueva función --- llamémosla csine: $$ csine(\theta) = \frac{v \cdot w}{\|v\| ~\|w\|} $$ que depende del ángulo $\theta$ entre dos vectores $v$ y $w$ .

Ahora demuestras (mucha álgebra lineal y geometría aquí) que esta función satisface las mismas "propiedades" que mencioné antes --- la esencial está estrechamente ligada a la ley de los cosenos), y que por lo tanto debe ser realmente la misma que la función coseno que definimos un párrafo o dos antes.

---

Quiero mencionar que esta conexión de todas estas cosas me llevó años para aprender. Más o menos conocía un montón de ellas, pero supongo que no fue hasta una década después de obtener mi doctorado cuando pude reunirlas todas en un hilo coherente, un hilo que apenas he resumido aquí.

Answer 2

He encontrado una respuesta satisfactoria en el contexto del álgebra geométrica. Acabo de escribirla en

https://whatihavelearnedajpan.blogspot.com/2020/07/angles-from-geometric-algebra.html

He intentado modificarlo, para pegarlo aquí, pero es demasiado tiempo para mí.

Por cierto, esta definición permite conectar la idea de "exponencial" y una definición para el $\pi$ número.

A modo de resumen: En el AG, los bivectores representan direcciones bidimensionales. Cualquier bivector simple puede escribirse como $$ \theta e_1e_2 $$ con $\theta \in \mathbb{R}$ y $\{e_i\}$ vectores unitarios y ortogonales. Los vectores unitarios especifican la dirección mismo, y $\theta$ es el tamaño (análogo a la longitud de un vector, que es una dirección unidimensional).

Dados dos vectores $a$ y $b$ (que tomamos como unitario, wlog) decimos que el bivector simple $\theta e_1e_2$ es el ángulo que forman si $$ ab=e^{\theta e_1 e_2} $$ donde tomamos como definición $$ e^A=1+A+A^2 /2+\cdots=\lim_N (1+\frac{A}{N})^N $$

La exponencial podría interpretarse como un proceso infinito, como puede verse en el siguiente gif:

desde $$ b=a e^{\theta e_1 e_2}\cong a(1+\frac{\theta e_1 e_2}{N})^N=a+\frac{\theta}{N}a_{\perp}+\cdots $$

Answer 3

Se puede definir la función seno y coseno como la parte real e imaginaria de la función $x\mapsto\exp(\mathrm ix)$ . Este último puede definirse simplemente tomando la serie exponencial e insertando $\mathrm ix$ . La serie exponencial, a su vez, puede definirse sin ninguna geometría, sólo utilizando el álgebra y los límites.

Como alternativa, se pueden definir los ángulos directamente a partir del producto escalar de la siguiente manera:

En primer lugar, defina la ortogonalidad como el producto escalar que es cero (esto obviamente no requiere ningún ángulo predefinido). Asigna un valor arbitrario a eso (el valor que asignes dará tu medida de ángulo; por ejemplo, si asignas el valor $90$ , entonces obtendrás los ángulos en grados).

A continuación, defina que dos vectores unitarios que tienen el mismo producto escalar tienen el mismo ángulo, y que los ángulos de los vectores coplanares son aditivos; en particular, dados tres vectores unitarios linealmente dependientes $a$ , $b$ , $c$ con $a\cdot b=b\cdot c$ pero $c\ne a$ el ángulo de $a$ y $c$ es el doble del ángulo de $a$ y $b$ . Entonces tienes una manera de determinar todos los ángulos que son un factor $2^k$ , $k\in \mathbb Z$ desde el ángulo correcto. Como esos vectores son densos en el círculo unitario, los ángulos restantes pueden definirse mediante límites.

Por último, defina el ángulo de vectores arbitrarios como el ángulo entre los vectores normalizados correspondientes.

Answer 4

Según wikipedia La medida del ángulo viene dada por el cociente entre la longitud del arco sobre una circunferencia y el radio, de forma que el vértice del ángulo está en el origen, y la intersección de las líneas que forman el ángulo con la circunferencia son los puntos extremos del arco. Una vez que se tiene esta definición, se pueden definir las funciones seno y coseno en términos puramente geométricos (longitudes de las proyecciones sobre los ejes). En el enfoque de la geometría analítica se define el producto vectorial y se demuestra que está relacionado con la función coseno. Esto significa que, al menos históricamente, la definición geométrica (como la longitud del arco) es la que se debe utilizar.

PERO... Como siempre, hay advertencias. A principios de este mes estuve mirando la definición de $\pi$ que históricamente es la relación entre la circunferencia del círculo y el diámetro. Para calcular la circunferencia del círculo analíticamente hay que hacer una integral. Así que $\pi$ depende de conocer las integrales. Ya que la mayoría de la gente aprende las derivadas antes que las integrales, $\pi$ se define ahora en términos de coseno, que se define como una serie.

Answer 5

En lugar de los ángulos, se puede definir la abscisa curvilínea a lo largo de un círculo. Se obtiene por integración del elemento de arco $ds$ que se obtiene de Pitágoras $\sqrt{dx^2+dy^2}$ .

Este enfoque requiere tender un puente entre la geometría y el cálculo.

---

También se pueden definir las fracciones de una vuelta a partir de polígonos regulares. Se trata de ángulos racionales. Generalizar a los ángulos reales no parece sencillo.