Fijar un Carcaj $Q=(Q_{0},Q_{1})$, donde $Q_{0}$ es el conjunto de vértices y $Q_{1}$ es el conjunto de aristas. Para $j\in Q_{0}$ definir $\sigma_{j}Q$ a ser el carcaj en la que todos los que incluyen el vértice $j$ están invertidos.
Supongamos $i\in Q_{0}$ es un sumidero (todos los bordes incluyendo $i$ están dirigidos a $i$), a continuación, tenemos una reflexión functor $$F_{i}^{+}:Rep(Q)\to Rep(\sigma_{i}Q).$$
El functor se define como sigue: dado un representación $X\in Rep(Q)$, que es una asignación de un número finito-dimensional espacio vectorial $X_{j}$ a cada una de las $j\in Q_{0}$ y un lineal mapa de $f_{\alpha}:X_{j}\to X_{k}$ por cada $\alpha: j\to k\in Q_{1}$, definir $$(F_{i}^{+}X)_{j}=\begin{cases} X_{j} &j\neq i,\\ \ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right) & i=j. \end{casos}$$
Alternativamente, uno puede pensar en la secuencia de $$ 0\longrightarrow (F_{i}^{+}X)_{i} \longrightarrow \bigoplus_{\substack{\alpha\in Q_{1}\\ \alpha:j\to i}} X_{j}\longrightarrow X_{i}$$ en el que el primer mapa es el trivial mapa y el segundo es la inclusión.
Mi pregunta es ¿qué es el tercer mapa y cómo he de pensar acerca de la $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)$?
Mi conjetura es que usted tome la suma directa de todos los espacios vectoriales $X_{\alpha}$ que el mapa en el fregadero $X_{i}$ y, a continuación, el mapa es solo componente-sabio, es decir, algunos tupla $(x_{1},\ldots,x_{n})\in\bigoplus_{\substack{\alpha\in Q_{1}\\ \alpha:j\to i}} X_{j}$ se asigna a $(f_{1}x_{1},\ldots,f_{n}x_{n})$ donde $f_{j}:X_{j}\to X_{i}$ es el mapa en la representación de $Q$.
Es esto correcto?
Si es así, ¿significa esto que $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)=\bigoplus_{\alpha:j\to i} \ker(f_{\alpha})$?
Por último, ¿tenemos alguna información acerca de la dimensión de $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)$ en general?
Como referencia yo soy de la lectura de estas notas, en particular la parte de la reflexión functors está en el capítulo 3 en la página 9.
