Functor de la reflexión de un temblor

Question

Fijar un Carcaj $Q=(Q_{0},Q_{1})$, donde $Q_{0}$ es el conjunto de vértices y $Q_{1}$ es el conjunto de aristas. Para $j\in Q_{0}$ definir $\sigma_{j}Q$ a ser el carcaj en la que todos los que incluyen el vértice $j$ están invertidos.

Supongamos $i\in Q_{0}$ es un sumidero (todos los bordes incluyendo $i$ están dirigidos a $i$), a continuación, tenemos una reflexión functor $$F_{i}^{+}:Rep(Q)\to Rep(\sigma_{i}Q).$$

El functor se define como sigue: dado un representación $X\in Rep(Q)$, que es una asignación de un número finito-dimensional espacio vectorial $X_{j}$ a cada una de las $j\in Q_{0}$ y un lineal mapa de $f_{\alpha}:X_{j}\to X_{k}$ por cada $\alpha: j\to k\in Q_{1}$, definir $$(F_{i}^{+}X)_{j}=\begin{cases} X_{j} &j\neq i,\\ \ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right) & i=j. \end{casos}$$

Alternativamente, uno puede pensar en la secuencia de $$0\longrightarrow (F_{i}^{+}X)_{i} \longrightarrow \bigoplus_{\substack{\alpha\in Q_{1}\\ \alpha:j\to i}} X_{j}\longrightarrow X_{i}$$ en el que el primer mapa es el trivial mapa y el segundo es la inclusión.

Mi pregunta es ¿qué es el tercer mapa y cómo he de pensar acerca de la $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)$?

Mi conjetura es que usted tome la suma directa de todos los espacios vectoriales $X_{\alpha}$ que el mapa en el fregadero $X_{i}$ y, a continuación, el mapa es solo componente-sabio, es decir, algunos tupla $(x_{1},\ldots,x_{n})\in\bigoplus_{\substack{\alpha\in Q_{1}\\ \alpha:j\to i}} X_{j}$ se asigna a $(f_{1}x_{1},\ldots,f_{n}x_{n})$ donde $f_{j}:X_{j}\to X_{i}$ es el mapa en la representación de $Q$.

Es esto correcto?

Si es así, ¿significa esto que $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)=\bigoplus_{\alpha:j\to i} \ker(f_{\alpha})$?

Por último, ¿tenemos alguna información acerca de la dimensión de $\ker\left(\bigoplus_{\alpha:j\to i} f_{\alpha}\right)$ en general?

Como referencia yo soy de la lectura de estas notas, en particular la parte de la reflexión functors está en el capítulo 3 en la página 9.

Answer 1

Creo que he descubierto

sea <span class="math-container">$h:\bigoplus{\substack{\alpha\in Q{1}\ \alpha:j\to i}} X{j} \to X{i}$</span> el tercer mapa de la secuencia entonces definimos <span class="math-container">$h(x{1},\ldots,x{n}):=f{1}x{1}+\cdots+f{n}x{n}$</span> <span class="math-container">$f{j}:X{j}\to X{i}$</span> Dónde está el mapa asociado al borde <span class="math-container">$\alpha:j\to i\in Q{1}$</span>. Entonces tenemos <span class="math-container">$$\ker(h)={(x{1},\ldots,x{n})\in\bigoplus{\substack{\alpha\in Q{1}\ \alpha:j\to i}} X{j}: f{1}x{1}+\cdots+f{n}x_{n}=0}.</span>

Aunque todavía no sé nada acerca de la dimensión en general.

Answer 2

Si la representación es indescomponible, el mapa <span class="math-container">$\oplus{\alpha:j \to i} f\alpha$</span> es sobreyectiva (de lo contrario se podría dividir de complemento de su imagen como un sumando) y por lo tanto, la dimensión de su núcleo es la suma sobre las flechas entrantes de las dimensiones de los espacios del vector en su fuentes menos la dimensión del espacio vectorial en <span class="math-container">$i$</span>.