Una observación sobre los ceros no prioritarios de la función Zeta de Riemann.

Question

Observé esta propiedad en el mes de julio de este año, pero no pude diseñar una prueba matemática o una forma matemática de establecer mi observación. Necesito ayuda para declarar esta propiedad.

Sabemos que para ciertos valores de "b" en s = 1/2 + ib ζ(s) = 0.

Cuando observé la mayoría de los valores de "b aquí

Encontré que la mayoría de los primos están relacionados con estos valores de 'b' en sus formas cuadradas como:

    Property:    [b] = p^2        {where 'p' is a prime number and [b] is the Box Function}

ejemplo: b = 841.0363...

    so,         [841.0363...] = 29^2

debajo de 200 sólo hay 6 primos que no están siguiendo la propiedad anterior.

Estoy buscando una fórmula o un programa para encontrar todos esos primos que siguen por encima de la propiedad, pero hasta ahora no tengo ninguna solución. Tampoco soy bueno programando, por favor ayúdame en este problema.

Answer 1

El $n$ el zeta cero tiene $b(n) \sim 2 \pi n/W(n/e)$ donde $W$ es la función de Lambert. La función de Lambert crece como aproximadamente el logaritmo de su argumento, por lo que vemos que los ceros zeta se vuelven más densos como $n$ aumenta, y en $n \approx 10^4$ sus partes imaginarias deberían empezar a golpear cada número entero. Este resulta ser el caso, ya que el último cuadrado de un primo que se pierde es $103^2 = 10609$ .

También podemos estimar la probabilidad de que cada cuadrado de un primo no tenga un cero zeta cerca de él. La densidad de los ceros zeta es $W(n/e)/(2 \pi )$ así que esperamos que cada cuadrado de un primo no esté cerca de un zeta cero con probabilidad $1 - W(p^2/e)/(2 \pi )$ . Sumando esto sobre todos los primos en los que este valor es positivo, obtenemos una cuenta esperada de $7.7$ que está razonablemente cerca del valor real de 6.