¿Una familia de mapas inyectivos linealmente independientes tiene un vector con imágenes linealmente independientes?

Question

Deje $V,W$ ser finito dimensionales espacios vectoriales sobre un infinito campo de $k$. Fijar un entero positivo $n \leq \dim(W), \dim(V)$.

Dado $n$ inyectiva lineal mapas de $f_i:V\rightarrow W$, de tal manera que el $f_i$ son linealmente independientes, como elementos de $\operatorname{Hom}(V,W)$, es necesariamente un vector $v\in V$ con $f_i(v)$ linealmente independientes en $W$?

Esto es para $n=1,2$ y si el $f_i$ viaje y se diagonalisable, desde luego, uno puede simultáneamente diagonalise.

En términos de las condiciones, es evidente que se requieren independencia lineal de los mapas para la conclusión, y de inyectividad es necesario para excluir el caso de $\dim(V) > \dim(W)$, donde las imágenes nunca serán linealmente independientes.

Answer 1

Esto falla para $n=3.$ Considere $f_i$ con representaciones matriciales

$$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}. $$

O en otras palabras: $\mathrm{id}, \mathrm{id}+e_1e_2^*, \mathrm{id}+e_1e_3^*.$ Entonces, para cualquier $v,$ los tres vectores $f_i(v)$ se encuentra en el espacio que abarca $\{v,e_1\}.$

Answer 2

Dap respuesta se puede generalizar de la siguiente manera. Primero debemos elegir un lineal de inyección de $f_{n}$, y, a continuación, recoger $n-1$ linealmente independientes mapas de $g_{i}$, cada uno con la imagen de un subespacio de algunos $U \subseteq W$ de la dimensión de $m < n-1$. Básicamente, vamos a elegir a$f_{i} = f_{n} + \lambda g_{i}$ para suficientemente pequeño $\lambda > 0$. Es decir, el uso que el determinante de la función es continua (restringido a submatrices), la elección de $\lambda$ asegura que el rango de $f_{i}$ es el mismo que $f_{n}$. A continuación, tenga en cuenta que la imagen de cualquier $v \in V$ bajo $f_{i}$ es de $U + \mathrm{span}(f_{n}(v))$ que tiene dimensión $m + 1 < n$. Así tenemos que el $f_{i}(v)$ son linealmente dependientes.

Cuando podemos formar esta construcción? Es suficiente con tener $m^{2} \geq n-2$, debido a que para cualquier base $\beta = \{ u_{j} : j \}$ de $U$, podemos dejar que la $g_{i}$ ser el mapa que envía algunas $u_{j}$ otro $u_{j'}$ y todo lo demás a cero (de manera similar a $e_{1}e_{2}^{\ast}$), y hay $m^{2}$ posible mapas. Si tomamos $m = n-2$ (el menos restrictivo de los casos), a continuación, $m^{2} \geq n-2$ cualquier $m \geq 0$. Ya que también tenemos $m \geq 1$, el de la construcción, de modo que funciona en general para cualquier $n \geq 3$.