¿Seguimiento de los cortes positivos de Dedekind a los reales?

Question

No pierdas mucho tiempo en esto. Estoy seguro de que podría resolverlo yo mismo, pero tal vez haya una respuesta que alguien ya conozca.

Digamos que usamos cortes Dedekind para construir los reales. La adición está bien y la prueba de que un conjunto acotado por encima tiene un supremum es simplemente encantadora. Luego llegamos a la definición de la multiplicación y se desata el infierno: no es que haya nada profundo o realmente difícil en ello, pero como mínimo la elegancia se pierde en un montón de casos especiales.

Así que me digo que esto se debe al accidente histórico de que la gente descubriera cómo extender los racionales positivos a los racionales antes de considerar la completitud; ¿por qué no conseguir primero la completitud?

Así que el plan es utilizar cortes Dedekind de positivo racionales para construir el positivo reales, y luego pasar de ahí a los reales. (En todo esto "positivo" puede significar estrictamente positivo o no negativo, lo que funcione).

Esto lleva a al menos una pregunta : ¿Para qué valores de lo que sea y la construcción ¿se puede demostrar el siguiente teorema?

Teorema Si $F$ es un campo ordenado, entonces el conjunto de elementos positivos es un lo que sea . A la inversa, dado un lo que sea $P$ , la construcción da un campo ordenado $F$ tal que $P$ es (isomorfo a) el conjunto de elementos positivos de $F$ .

O si no existe tal teorema general, podríamos ser más específicos. Digamos que $P$ es el conjunto de los reales positivos. Se me ocurren al menos dos construcciones que, de hecho, llevan de $P$ a $\Bbb R$ La pregunta es qué necesito probar sobre $P$ para demostrar que el resultado es de hecho $\Bbb R$ .

Una construcción sería decir que un real es sólo un elemento de $P$ con un signo de más o de menos. Esto parece que puede llevar al tipo de encasillamiento especial que estamos tratando de evitar (ya cuando pensamos en $0$ vemos que tenemos que añadir una cláusula especial para que $+0=-0$ ; blech).

Otra construcción es considerar $(a,b)\in P^2$ como representación de lo real $a-b$ . Así que definiríamos $(a,b)\sim(c,d)$ si $a+d=c+b$ definiríamos la suma y el producto de elementos de $P^2$ de manera obvia (en particular $(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc)$ ), demostrar que estas operaciones se elevan al cociente $P^2/\sim$ y seguir nuestro camino.

Me gusta la segunda construcción. ¿Qué tengo que probar sobre $P$ para demostrar que $P^2/\sim$ es un campo ordenado con cono positivo $P$ ?

Answer 1

Esto se desprende de la definición de campo y del requisito de que $P$ se integra en el "grupo de diferencias" (su $P^2/\sim$ ). Esto equivale a decir que $P$ debe ser un sembrar cuyo semigrupo aditivo satisface la ley de cancelación, si $x + y = x + z$ entonces $y = z$ y cuyo semigrupo multiplicativo es un grupo.

Por cierto, ¿sabías que cualquier grupo conmutativo denso y completamente ordenado es isomorfo a los reales? Esto nos lleva a una forma poco conocida pero muy limpia de definir la multiplicación mediante el estudio de los homomorfismos preservadores del orden del grupo aditivo. Me parece una forma mucho más satisfactoria de evitar todas esas divisiones de casos.

Answer 2

En lugar de definir cortes dedekind en el conjunto de los números racionales, de forma natural podemos modificar la definición y definir cortes en los números racionales positivos. En este nuevo escenario, construimos los números reales no negativos, $\mathbb R^{\ge0}$ y podemos demostrar que forma un semicampo conmutativo, y no nos atascamos en comprobar, hasta la saciedad, el desglose caso por caso de la multiplicación.

De la misma manera que nosotros los números enteros se construyen a partir de los números naturales encontrados aquí podemos obtener los números reales negativos de $\mathbb R^{\ge0}$ , dándonos el conjunto de todos los números reales. Utilizando la $\mathbb N_0 \to \mathbb Z$ teoría, será un anillo.

Propuesta: Todo número real no nulo $x$ tiene un inverso multiplicativo.
Prueba
Si la pareja $(u,v)$ con $u,v \in \mathbb R^{\ge0}$ representa $x$ entonces $u \ne v$ .
Recordemos la definición de multiplicación:

$\quad {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]}$

Si $u \lt v$ entonces el número (bloque) representado por $(0, \frac{1}{v-u})$ es la inversa de $x$ .

Si $u \gt v$ entonces el número (bloque) representado por $(\frac{1}{u-v},0)$ es la inversa de $x$ .

Así, cada elemento no nulo de $\mathbb R$ tiene un inverso multiplicativo, por lo que en realidad hemos construido un campo de números. $\quad \blacksquare$