Algoritmo relativo a matrices ortogonales

Question

Digamos que tengo una matriz ortogonal n-dimensional, con algunos de sus elementos dados y estos otros desconocidos. ¿Existe un algoritmo efectivo para descubrir los elementos desconocidos y restaurar toda la matriz (solo necesita encontrar una solución si hay muchas y da un error cuando no existe una solución)?

¡Gracias!

Answer 1

Una matriz$A$ es ortogonal iff$$A^T A = I.$$ If we denote the (known or unknown) $ (i, j)$ entry as usual by $ a_ {ij} $ entonces la condición anterior es equivalente al sistema$$\sum_{k = 1}^n a_{ik} a_{jk} = \delta_{ij}, \qquad 1 \leq i \leq j \leq n,$ $ donde$\delta_{ij}$ es el símbolo delta de Kronecker (es decir, tiene el valor$1$ si$i = j$ y el valor$0$ de lo contrario). Esto reduce el problema para resolver un sistema (necesariamente) cuadrático de$\frac{1}{2}n (n + 1)$ ecuaciones en las entradas desconocidas$a_{ij}$.