Todos los polinos irreducibles de grado 4 en $\mathbb{Z}_2$

Question

Necesito encontrar todos los polinos irreducibles de grado máximo 4 en $\mathbb{Z}_2$

Este es mi resultado:

$$ x^4 + x^1 + 1 \\ x^4 + x^2 + 1\\ x^4 + x^3 + 1 \\ x^4 + x^3 + x^2 + x^1 + 1 \\ $$

¿Es esto correcto?

Answer 1

$x^4 + x^2 + 1= (x^2 + x + 1)^2$ no es irreducible.

Un polinomio irreducible de grado $4$ define una extensión de campo de $\mathbb Z_2$ de grado $4$ . Su $2^4$ son las raíces de $x^{2^4}-x$ debido al teorema de Lagrange en la teoría de grupos.

Por lo tanto, los polinomios irreducibles de grado $4$ son los que dividen $x^{2^4}-x$ en $\mathbb Z_2$ : $$ x^{16}-x=x (x + 1) (x^2 + x + 1) (x^4 + x + 1) (x^4 + x^3 + 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $$ y por lo tanto hay exactamente tres de ellos.

Para el factor $x^{16}-x$ , factor $x^{15}-1$ empezando por la factorización en polinomios ciclotómicos : $$ x^{16}-x = x(x^{15}-1)=x \Phi_1(x) \Phi_3(x) \Phi_5(x) \Phi_{15}(x) $$ que da $$ x^{16}-x = x(x - 1)(x^2 + x + 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) (x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) $$ A continuación, tenemos que factorizar aún más estos mod 2. El último factor es el único reducible.

Answer 2

También puedes comprobarlo con Wolfrag Aplha. véase

Por ejemplo:

Módulo->2 IrreduciblePolinomioQ[x^4 +x^3 + 1]

Módulo->2 IrreduciblePolinomioQ[x^4 +x^3 + x^2 x + 1]