Del teorema espectral en la teoría del operador al teorema espectral en álgebra lineal

Question

Todavía estoy un poco confundido acerca de la muy general Teorema Espectral Operador en Teoría, ya que es muy abstracto. Así que pensé que podría ser una buena idea para aplicar el teorema general a lo finito-dimensional caso. Aquí está el teorema tengo en mis notas:

Teorema espectral: Vamos a $H$ ser un complejo de Hilbert-espacio y $A: H \to H$ normal del operador. No hay una única espectral de medida $\Phi$ sobre el espectro de $\sigma(A)$ tal que $$f(A) = \int_{\sigma(A)} f d \Phi$$ for any continuous function $f$ on the spectrum $\sigma(A)$. Moreover $\Phi(U) \neq 0$ for all non-empty open subsets $U \subconjunto \sigma(A)$, and for every bounded operator $B : H \H$ we have $BA = AB$ if and only if $B \Phi(U) = \Phi(U) B$ for all $U$.

Vamos a suponer que $H := \mathbf{C}^n$ y $A$ es auto-adjunto. El espectro de $A$ es real y finito, por lo tanto discretos. Quiero demostrar que existe una base ortonormales de vectores propios de a $A$.

Así que se me ocurrió tomar la función de $f := \mathbf{1}_{\{\lambda\}}$$\lambda \in \sigma(A)$. Llegamos $f(A) = \Phi(\{\lambda\})$. El teorema espectral y luego me da un número finito de la familia de pares proyecciones ortogonales $\{ \Phi(\{\lambda \})\}_{\lambda \in \sigma(A)}$, de tal manera que $\sum_\lambda \Phi(\{\lambda\})= \text{Id}$.

Pero no veo cómo esto no llevará a ninguna parte cerca de la Espectral Teorema de Álgebra Lineal. Alguien puede ayudar?

Gracias!

Answer 1

Debido a $A$ ha finito espectro, decir $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$, luego $$ E_l = E\{\lambda_l\} $$ son las proyecciones ortogonales tales que $$ E_l E_m = E_m E_l = 0,\;\;\; m \ne l \\ E_l E_l = E_l = E_l^* \\ E_1 + E_2 + \cdots + E_k = I, $$ y la matriz de $A$ puede ser escrito como $$ A = \lambda_1 E_1 + \lambda_2 E_2 + \cdots + \lambda_k E_k. $$ Debido a las propiedades de las proyecciones, $AE_l = \lambda_l E_l$, lo que significa que todos los no-vector cero en el rango de la proyección de $E_l$ es un eiegenvector con autovalor $\lambda_l$. La anterior formulación del teorema espectral para el normal matrices es bastante estándar, y se desprende directamente de la general teorema espectral. Si desea que el autovector-sólo la versión del espectro teorema, a continuación, realice de Gram-Schmidt en las columnas de las matrices de proyección $E_l$ a fin de obtener una completa base ortonormales de vectores propios de a $A$.

Answer 2

Cada una de las proyecciones ortogonales conserva algún subespacio no trivial. Tome una base ortonormal de cada uno de estos subespacios (a través de Gram-Schmidt, por ejemplo). Como estas son proyecciones ortogonales por pares, la unión de las bases ortonormales es una base ortonormal de$\Bbb{C}^n$.