¿Este argumento de que$(0,0)$ es un mínimo local para$f(x,y)=x^4+3xy^2+y^2$ correcto?

Question

Estoy tratando de encontrar un mínimo local para $f(x,y) = x^4 + 3xy^2 + y^2$.

Después de encontrar que un punto crítico no está en$f(x,y)$$(0,0)$, me pregunto si esta es la adecuada justificación formal para demostrar que esto es realmente el caso?

Deje $\epsilon >0$ ser dado. Deje $|y|=-x$
(Es esto correcto? Sólo quiero seguir x e y tienen el mismo valor absoluto, básicamente)
Deje $x = \max\{\frac{-1}{3}, \frac{-\epsilon}{2}\}$.

A continuación, $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2\frac{\epsilon}{2}^2} = \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$
(Este es apropiado para mostrar que puedo hacer x, y tan cerca de $\epsilon$ como quiero?)

Desde $\frac{-1}{3}\leq x\lt 0$ $3x \geq -1$ $x^4+3xy^2+y^2 \geq 0$
$\therefore (0,0)$ es un mínimo local de $f(x,y)$

Answer 1

Con el fin de mostrar que el $f(x,y)$ tiene un mínimo local en a $(0,0)$, usted necesita demostrar que hay un $\epsilon\gt 0$ tal que para todos los $(x,y)$ si $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\lt\epsilon$ (es decir, si $(x,y)$ $\epsilon$- cerca de las $(0,0)$),$f(0,0)\leq f(x,y)$. En otras palabras: no es una bola alrededor de $(0,0)$ con la propiedad de que $f(0,0)$ es el valor más pequeño que $f$ lleva en la pelota.

Por lo que no son "dado un $\epsilon\gt 0$", como es el caso de los límites. En su lugar, usted puede seleccionar los $\epsilon$.

Sin embargo, usted no puede restringir los valores de $x$$y$: cualquier valor de $x$ $y$ que cae dentro de $\epsilon$ $(0,0)$ tiene que ser explicada. Así que usted no consigue a decir "Vamos a $|y|=-x$." Y no llegar a recoger $x$.

Así, me temo que esto no es una forma válida de ir sobre ella.

En su lugar, vamos a pensar acerca de $f(x,y)$. Tanto el $x^4$ e las $y^2$ contribuirá factores positivos; así que en realidad sólo tenemos un problema potencial (es decir, un valor de $f$ menor que $0$)$x\lt 0$; si $y=0$ el factor de $3xy^2$, la única posible fuente de problemas, se desvanece, así que sólo tienes que preocuparte de que el caso de $y\neq 0$. Luego tenemos a $f(x,y) = x^4 + 3xy^2 + y^2 = x^4 + y^2(3x+1)$.

Esto significa que si $3x+1\geq 0$,$f(x,y)\geq 0 = f(0,0)$, incluso si $x$ es negativo y tiene valor absoluto mucho más grande de lo $y$. Y esto se logra si $x\geq - \frac{1}{3}$. Así que todo lo que necesita hacer es asegurarse de que su $x$ es mayor que $-\frac{1}{3}$ (como te habrás dado cuenta, dado el valor que se le quería asignar a $x$).

Así: todo lo que necesitas hacer es encontrar algunos $\epsilon$ con la propiedad de que si $\sqrt{x^2+y^2}\lt \epsilon$, entonces usted sabrá que el $x\geq -\frac{1}{3}$. Se puede argumentar que para que $\epsilon$, usted tiene la propiedad que usted desea (cada punto de $(x,y)$ dentro $\epsilon$ $(0,0)$ tienen $f(x,y)\geq f(0,0)$). ¿Cómo encontrar el $\epsilon$? Dibujar una imagen: $\epsilon$ es el radio de un círculo alrededor de $(0,0)$; desea que cada punto dentro del círculo para tener $x$-coordinar mayor o igual a $-\frac{1}{3}$. ¿Cuál es el valor de la(s) usted puede escoger para $\epsilon$? (No hay una única respuesta, ya que si tiene un valor que funciona, cualquier valor inferior también trabajo).