Necesito explicación del pasaje sobre el espacio de Lebesgue/Bochner

Question

De un libro:

Sea $V$ un espacio de Banach y $g \in L^2(0,T;V')$. Para todo $v \in V$, se cumple que $$\langle g(t), v \rangle_{V',V} = 0\tag{1}$$ para casi todo $t \in [0,T]$.

Lo que no entiendo es lo siguiente:

Esto es equivalente a $$\langle g(t), v(t) \rangle_{V',V} = 0\tag{2}$$ para todo $v \in L^2(0,T;V)$ y para casi todo $t \in [0,T]$.

De acuerdo, así que si $v \in L^2(0,T;V)$, $v(t) \in V$, por lo tanto (2) se desprende de (1). ¿Y al revés? ¿Está realmente correcta mi argumentación? Me preocupa la parte de "para casi todo $t$" de estas afirmaciones, me confunde si estoy pensando correctamente.

Edición para la recompensa: como menciona el comentario de Tomás abajo, ¿el conjunto nulo donde (1) y (2) no son cero es el mismo para todo $v$? Si no lo es, ¿es esto un problema? Se agradecerían más detalles.

Answer 1

Para $(2)$ implica $(1)$, considera la función $v\in L^2(0,T;V)$ definida por $$v(t)=w, \forall\ t\in [0,T]$$

donde $w\in V$ es fijo. Por lo tanto, tienes por $(2)$ que $$\langle g(t),v(t)\rangle=\langle g(t),w\rangle=0$$

para casi todo $t$. Variando $w$, puedes concluir.

Answer 2

Su razonamiento para (1) implica que (2) está casi correcto: $v\in L^2(0,T;V)$ implica que $v(t)\in V$ solo para casi todo $t$. La función $v(t) = (t-a)^{-1/3} \in L^2(0,T;\mathbb R)$ para algún número $a\in [0,T]$ sirve como ejemplo. En consecuencia, para un $v\in L^2(0,T;V)$ dado, también tenemos que excluir los puntos donde $v(t)\not\in V$.

Sin embargo, (2) requiere la afirmación para todos los $v$, por lo que la observación anterior es solo una cuestión técnica.