Necesita explicación del pasaje sobre el espacio de Lebesgue / Bochner.

Question

De un libro:

Deje $V$ ser de Banach y $g \in L^2(0,T;V')$. Para cada $v \in V$, sostiene que $$\langle g(t), v \rangle_{V',V} = 0\tag{1}$$ para casi todas las $t \in [0,T]$.

Lo que no entiendo es la siguiente:

Esto es equivalente a $$\langle g(t), v(t) \rangle_{V',V} = 0\tag{2}$$ for all $v \en L^2(0,T;V)$ and for almost every $t \[0,T]$.

OK, así que si $v \in L^2(0,T;V)$, $v(t) \in V$, por lo que (2) se sigue de (1). ¿Y a la inversa? También es mi razonamiento realmente correcto? Estoy preocupado por el "para casi todos los $t$ parte de estas declaraciones, se me confunde si estoy pensando correctamente.

Edición de la recompensa: como Tomás comentario más abajo, es el conjunto null, donde (1) y (2) no son cero, el mismo para todos los $v$? Si no, es esto un problema? Más detalles se agradece.

Answer 1

Para$(2)$ implica$(1)$, considere la función$v\in L^2(0,T;V)$ definida por$$v(t)=w, \forall\ t\in [0,T]$ $

donde$w\in V$ es fijo. Por lo tanto, tienes por$(2)$ que$$\langle g(t),v(t)\rangle=\langle g(t),w\rangle=0$ $

por casi $t$. Al variar$w$, puedes concluir.

Answer 2

Su razonamiento para (1) implica que (2) es casi correcto:$v\in L^2(0,T;V)$ implica$v(t)\in V$ solo para casi todos los$t$. La función$v(t) = (t-a)^{-1/3} \in L^2(0,T;\mathbb R)$ para algún número$a\in [0,T]$ sirve como ejemplo. En consecuencia, para un determinado$v\in L^2(0,T;V)$, también debemos excluir los puntos donde$v(t)\not\in V$.

Sin embargo, (2) requiere la declaración para todos los$v$, de modo que la observación anterior es solo un tecnicismo.