Demostrar una igualdad de matrices complejas

Question

Si $A \in M_2(\mathbb{C})$ una matriz para que $$\det\left(A^2 + A + I_2\right)=\det\left(A^2 - A + I_2\right)=3 \tag1$$ entonces $$A^2\left(A^2 + I_2\right)=2I_2. \tag2$$

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He intentado utilizar el teorema de Cayley-Hamilton, sin éxito. Creo que un paso podría ser demostrar $A$ es invertible.

Mientras tanto encontré que (2) es equivalente a: $\left(A^2 -I_2\right)\left(A^2 +2I_2\right)=O_2. \tag3$

Answer 1

Pista: Ecuación $(1)$ implica que, o bien $tr(A)=0$ o $\det(A)=-1$ . Utilizando Cayley-Hamilton, obtenemos en ambos casos (junto con $(1)$ de nuevo) que $(A^2-I)(A^2 +2I)=0$ .

Answer 2

En primer lugar, observe que si $A$ satisface (1) o (2), entonces también lo hace $TAT^{-1}$ . Por lo tanto, basta con discutir esto para $A$ en la forma normal de Jordan, y esto lo podemos hacer mediante un cálculo de fuerza bruta. Tenemos las condiciones $$ (\lambda_1^2+\lambda_1+1)(\lambda_2^2+\lambda_2+1)= (\lambda_1^2-\lambda_1+1)(\lambda_2^2-\lambda_2+1)= 3 \quad\quad\quad\quad (3) $$ en los valores propios de $A$ . Es fácil comprobar que estos no pueden ser satisfechos con $\lambda_2=\lambda_1$ Así que $A$ es de hecho diagonalizable. Si escribimos $\lambda_2=d/\lambda_1$ y restar las dos resultantes del orden $4$ ecuaciones para $\lambda_1$ vemos que $\lambda_1=0$ o $\lambda_1^2=-d$ . Podemos descartar fácilmente la primera alternativa. De ello se desprende que $\lambda_2=-\lambda_1$ por lo que, volviendo a (3), obtenemos que $$ (\lambda^2+\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1)= 3 , $$ o, de forma equivalente $\lambda^2(\lambda^2+1)=2$ para ambos $\lambda_1$ y $\lambda_2$ y esto es lo que queríamos mostrar.