Deje que$f : \mathbb{R} \to \mathbb{ R}$ sea tal que exista$f' (x)$

Question

Deje que$f : \mathbb{R} \to \mathbb{ R}$ sea tal que$f' (x)$ exista para todos los que no sean cero$x$ y$\lim_{x\to 0} f' (x) = 0$.

Entonces

(i)$f$ es continuo pero no diferenciable en$0$.

(ii)$f$ es diferenciable en$0$ y$f' (0) = 0.$

(iii)$f$ tiene un máximo local o un mínimo local en$0$.

(iv) Ninguna de las anteriores.

Estoy totalmente despistado. Gracias por la ayuda y la discusión.

Answer 1

Tomar $f(x) = \begin{cases} 1 & x >0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x<0 \end{cases}$.

Entonces,$f$ no es continuo en$x=0$ (y por lo tanto no es diferenciable).

$f$ no tiene un máximo o mínimo local en$x=0$.

Por lo tanto la respuesta es (iv) Ninguna de las anteriores.

Answer 2

Si $f$ es continuo en$0$, es fácil demostrar que también es diferenciable.

Dejar $x \neq 0$. Luego, por el MVT, existen algunos$c_x$ entre$0$ y$x$ para que

PS

Ahora

PS

Esto muestra que$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c_x) $ es False.

(iii)$$\lim_{x \to 0}f'(x)=0 \Rightarrow \lim_{x \to 0}f'(c_x)=0 \Rightarrow \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 \,.$.