Parte fraccionaria de la variable normalmente distribuida.

Question

Sea$X$ una variable distribuida normalmente con media$0$ y desviación estándar$1$. Consideraré su parte fraccional$$\overline{X} = X - \lfloor X \rfloor = X \, \bmod \, 1.$$

I have done some numerical testing and it seems likely that $ \ overline {X}$ is uniformly distributed on $ [0,1].$ To be specific I computed $$\sum_{k=-200}^{200} \Big( \Phi(k+b) - \Phi(k+a) \Big)$$ for a few values of $ b \ ge a$ in $ [0,1]$ and the result is consistently very close to $ ba$.

Here is the code in Sage: I first define

def Phi(x):
    return (1/2 + erf(x / sqrt(2)) / 2).n()

then a few examples of these computations:

s = 0
for k in range(-200,200):
    s = s + Phi(k+3/5) - Phi(k + 2/5)
print s.n()
0.199999998998919

and

s=0
for k in range(-200,200):
    s = s + Phi(k+4/9) - Phi(k + 2/9)
print s.n()
0.222222221674844

Question: is $ \ overline {X} $ ¿se distribuye de manera uniforme? Por los ejemplos que he hecho, estoy seguro de que sí, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

$\overline{X}$ es, en realidad, no se encuentran uniformemente distribuidos, pero es ridículamente cerca de ser así.

Después de algunos experimentos numéricos que también me ha convencido, he intentado buscar las fuentes en línea para confirmar esto, y encontré este artículo. Figura 1 en la página 3 parcelas en el PDF de $\overline{X}$ de 0 a 1; está muy cerca de uniforme, pero al parecer lo que realmente varía entre 1.000000004 y 0.999999996.

Para ser honesto, incluso ahora tengo la mitad sospecha que hay algún error en el artículo, porque coincidencias como esto no acaba de suceder. Pero hay una prueba y todo.

También hay una explicación intuitiva. Para citar el artículo:

Una mejor explicación se refiere a un conocido de forma rápida y sucia de la generación normal varia en un ordenador simplemente sumar 12 uniformes y restando 6. Puesto que la varianza de un uniforme es 1/12, por el teorema del límite central, este procedimiento debe tener una densidad que es muy próxima a una normal estándar. Pero la distribución de la parte fraccionaria de la suma de cualquier número de uniformes es exactamente uniforme. La conclusión sólo puede ser que la parte fraccionaria de un normal estándar debe estar muy cerca de uniforme.