Compleja integración de $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+2)^3}$

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+2)^3}$$

Sé que puedo usar una función compleja $f(z)$ y debo afrontar: $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(z^2+2)^3}$ $

Así que necesito las raíces de $z$

$$z_0 = i\sqrt2, z_1 = - i \sqrt 2$$

Y solo trabajo con $z_0$

$$Res(f(z),z0) = \frac{1}{2} \lim{z \to i\sqrt2}\frac{d^2}{dz^2}\left[(z-i\sqrt 2)^3 \frac{dz}{(z^2 + 2)^3}\right]$$

¿Es este el camino a seguir?

Answer 1

Además de la otra respuesta.

También puede hacer que

$$I(b)=\int \frac{1}{x^2+b} dx$$

Integrar. Usando la sustitución $x=\sqrt{b} \tan (\theta)$. Entonces para $b>0$:

$$I(b)=\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{b}})}{\sqrt{b}}+C$$

Encontrar

$$\frac{I''(b)}{2}+C_2=\int \frac{1}{(x^2+b)^3} dx$$

Answer 2

Pues sí, que es el camino a seguir pero has cometido errores al evaluar los polos. Escribo un poco diferente. Considere la función $\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z^2+3)^3}$. En el plano medio superior que tiene solamente un polo, es decir $z=i\sqrt{3}$ de orden $3$. El residuo es

$$\mathfrak{Res}\left ( f; i \sqrt{3} \right )= \frac{1}{2}\lim_{z \rightarrow i \sqrt{3}} \frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2} \left ( z-i \sqrt{3} \right )^3 f(z)= -\frac{i}{48 \sqrt{3}}$$

Ahora elija un semicírculo como contorno en el plano medio superior. Es la integral de contorno de $f$

$$\oint \limits_{C} f(z) \, {\rm d}z = -2\pi i \cdot \frac{i}{48 \sqrt{3}}= \frac{\pi}{24 \sqrt{3}}$$

La integral de arco desaparece. Deje los detalles para usted. Por lo tanto:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm d}x}{\left ( x^2+3 \right )^3} = \frac{\pi}{24 \sqrt{3}}$$

Answer 3

Ampliando sobre el polo en $x=\sqrt2i$ y utilizando la simplificación $z=x-\sqrt2i$, obtenemos $$\begin{align} \frac1{\left(x^2+2\right)^3} &=\left(\left(z+\sqrt2i\right)^2+2\right)^{-3}\ &=\left(z^2+\sqrt8i\,z\right)^{-3}\ &=\frac1{(\sqrt8i)^3}z^{-3}\left(1+\frac1{\sqrt8i}z\right)^{-3} \end {Alinee el} $$ usando el teorema del binomio, el coeficiente de $z^{-1}$ es por lo tanto $$ \frac1 {(\sqrt8i) ^ 5} \binom {-3} {2} = \frac {6} {(\sqrt8i) ^ 5} = \frac {3} {64\sqrt2i} $$ usando el contorno sobre el eje real entonces regresar por el infinito círculo alrededor del plano medio superior, tenemos $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+2\right) ^ 3} = \frac {3\pi} {32\sqrt2} $$