Si todos los valores propios de un operador son reales, ¿el operador es hermético?

Question

¿Cómo puedo probar o refutar la siguiente afirmación?

Los valores propios de un operador son todos reales si y sólo si el operador es hermético.

Conozco la prueba de una manera, es decir, sé cómo demostrar que si el operador es hermitiano, entonces los valores propios deben ser reales. Es en el otro sentido que no estoy seguro.

Answer 1

Supondremos que el espacio vectorial $V$ (donde el operador lineal $A:V\to V$ actúa) es un complejo espacio vectorial (a diferencia de un espacio vectorial real), y que $V$ está equipado con un forma sesquilínea $\langle\cdot,\cdot \rangle:V\times V \to \mathbb{C}$ . (Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta).

Como OP dice que ya sabe cómo demostrar que un operador hermitiano $A$ tiene valores propios reales, está preguntando esencialmente

Si todos los valores propios $\lambda_i$ son reales, es el operador $A$ ¿Hermitiano?

La respuesta es No, sólo si $A$ es diagonalizable en una base ortonormal.

En otras palabras, el eigenspaces $\ker(A-\lambda_i {\bf 1})\subseteq V $ deben ser mutuamente ortogonales y abarcar juntos todo el espacio vectorial $V$ .

Una versión del Teorema Espectral dice que $A$ es ortonormalmente diagonalizable si $A$ es un operador normal .

Answer 2

Es bien sabido que no es cierto. He aquí un contraejemplo: $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ . Esto no es hermitiano, pero tiene dos valores propios reales +1,+1. Este ejemplo no es diagonalizable, por lo que no es tan interesante.

Un ejemplo diagonalizable también es fácil de construir, si los vectores propios no son ortogonales entre sí. Consideremos la matriz $\begin{pmatrix}100&3\\-2&234\end{pmatrix}$ . Esta matriz tiene dos valores propios reales cercanos a 100 y 234, ya que la pequeña perturbación de la ecuación de valores propios no cambia el discriminante. Pero la matriz no es simétrica, por lo que no es hermitiana. En este caso, se puede definir una métrica diferente en el espacio vectorial, una definición diferente de ortogonal, que hace que la matriz sea hermitiana. Esto es fácil - la matriz es diagonal en su Eigenbasis, con valores propios reales, si usted declara que esta base es ortonormal, entonces la matriz se convierte en hermitiana.

Si se tiene una matriz diagonalizable con valores propios reales $E_i$ y los vectores propios $V_i$ son ortogonales y forman un conjunto completo,

Entonces la matriz viene dada por

$$ E_i \bar{V}_i^j V_i^k $$

Esto reconstruye una matriz hermitiana a partir de la lista de valores propios reales ortogonales. Una afirmación adecuada es que una matriz diagonalizable con valores propios reales y una base de vectores propios define una métrica en el espacio vectorial complejo donde se convierte en hermitiana. La prueba es declarar que todos los vectores propios tienen producto interior cero, y alguna norma positiva.

En el tema de la mecánica cuántica simétrica PT, esta construcción define la métrica en el espacio de Hilbert a partir de los estados propios de energía.