¿Los operadores Unirse y cumplir en celosías completas son continuos?

Question

Supongamos que $(A,\le)$ es un completo entramado, que significa $(A,\wedge,\vee)$ es una red que satisfaga $$\forall B \subseteq A[\bigwedge B\text{ and }\bigvee B\text{ exist}].$$ And of course $(\wp(A),\subseteq)$, in which $\wp(A)$ is the powerset of $$, is a complete lattice too (let $\bigcap \emptyset=$). Furthermore, Let $D,\sqsubseteq)$ be a directed set, and $P \colon D \a \wp(A)$ s.t. $\forall \alpha,\beta \D[\alpha \le \beta \Rightarrow P_{\alpha} \supseteq P_{\beta}]$. Entonces si $\bigcap_{\alpha \in D}P_{\alpha} \ne \emptyset$, hacer

• $\bigvee \bigcap_{\alpha \in D}P_{\alpha}=\bigwedge_{\alpha \in D}\bigvee P_{\alpha}$?

• $\bigwedge \bigcap_{\alpha \in D}P_{\alpha}=\bigvee_{\alpha \in D}\bigwedge P_{\alpha}$?

Es decir, en la topología discreta, son el límite superior y el límite inferior de la dirigida neto exactamente el supremum y infimum de este netas del límite establecido, respectivamente?

Answer 1

Yo no lo creo. Deje $A$ ser ampliado línea real con la costumbre de ordenar. Deje $D$ ser los naturales. Deje $P_n = (-1/n - 1,-1) \cup \{0\} \cup (1,1+1/n)$. A continuación, $\cap P_n = 1$ y, por tanto, su sup e inf se encuentra a 1. Pero $\inf_n \sup P_n = \inf_n 1 + 1/n = 1 \neq 0$, e $\sup_n \inf P_n = \sup_n -1 - 1/n = -1 \neq 0$.

---

Edit: en El ejemplo anterior se aprovecha del hecho de que el conjunto dirigido $(\mathbb{N},\leq)$ no tiene límite superior. Si usted requiere de $D$ a ser un dcpo lugar, a continuación,$\cap_{\alpha \in D} P_\alpha = P_{\sup D}$, con la condición de que $$\alpha \leq \beta \implies \inf P_\alpha \leq \inf P_\beta, \sup P_\alpha \geq \sup P_\beta$$ usted obtener las fórmulas que desee.

Answer 2

Deje $\mathbf{A}$ ser infinito, entonces, evidentemente, podemos encontrar algunos estrictamente creciente de las cadenas de$0$$1$. Deje $C$ ser uno de los más queridos. A continuación, cambie el clima $C$ es finito o infinito.

(1)el Caso finito: entonces debe tiene un átomo, vamos a $a$ denota. Al lado, hay una cantidad infinita de elementos de b que satisface $a\vee b>a$. Por lo tanto nos deja elegir contables queridos $\{b_1,b_2,...\}$. Deje $P_n=\{a\} \cup \{b_j|j>n\}$. Entonces es fácil ver que todos los $\bigvee P_n>a$ $\bigwedge \bigvee P_n>a=\bigvee \cap_{n<\omega}P_n$ desde $(\bigvee P_n)_{n=0}^{<\omega}$ es un no-aumento de la secuencia y tiene un mínimo.

(2)en el Caso infinito: al menos uno de ACC y DCC es falible, supongamos ACC es falible, entonces hay una infinita cadena crecientes $0<b_1<b_2<\dots$. Deje $P_n=\{0\} \cup \{b_j|j>n\}$, de manera similar $\bigwedge_{n<\omega} \bigvee P_n=\bigvee P_0>0=\bigvee \cap_{n<\omega}P_n$. Por lo tanto, la primera ecuación de error.

En una palabra, se encuentran y Unen no puede ser continuo donde $\mathbf{A}$ es infinito, pero seguramente será continua donde $\mathbf{A}$ es finito.