$\varrho(f(x),f(y))\geq\varrho(x,y)$, Mostrar $f$ en

Question

Que $X$ ser un espacio métrico compacto y $f:X\rightarrow X$ ser una función continua. Si $\varrho(f(x),f(y))\geq\varrho(x,y)$ % todo $x,y\in X$, muestra que el $f$ es a.

Necesito demostrar que $f(X)=X$ y $f(X)\subseteq X$ es verdad por definición, para que eso necesito $X\subseteq f(X)$. Así que tomar $x\in X$, $f(x)=y\in X$. Entonces $\varrho(x,y)\leq\varrho(y,f(y))$. El resultado sigue en el caso donde $\varrho(x,y)=\varrho(y,f(y))$, pero ¿cómo puede lo demuestro si $\varrho(x,y)

Answer 1

Deje $y\in X$ ser arbitraria. Considerar la secuencia de $y_n = f^ {n}(y) = \underbrace{(f\circ \ldots \circ f)}_{n}(y)$ que consiste en la aplicación de la función de $n\geq 1$ veces hasta el punto de $y$. Desde $y_n \in f(X)$ por cada $n\geq 1$, e $f(X)$ es compacto (debido a $f$ es continuo), $(y_n)$ tiene un convergentes subsequence $y_{n_k} \to f(x_0)$, para algunas de las $x_0 \in X$. Observe que para $k\geq 1$, $$ \varrho(f^{n_k - 1}(s),x_0) \leq \varrho(f^{n_k}(y),f(x_0)) \underbrace{\longrightarrow}_{k\to \infty} 0. $$

Por lo tanto, $x_0$ es el límite de la secuencia de $(y_{n_k-1})_{k\in \mathbb{N}}$ (en $fX$), y $x_0 \in f(X)$. Escribimos $x_0 = f(x_1)$$x_1\in X$. Con el mismo razonamiento, podemos probar a $x_1$ es el límite de la secuencia de $(y_{n_k-2})_{k\in \mathbb{N}}$, lo que significa que $x_1\in f(X)$, y escribimos $x_1 = f(x_2)$. Procediendo de esta manera, obtenemos una secuencia $(x_n)_{n\geq 0}$ $f(X)$ tal que $f(x_n)=x_{n-1}$ todos los $n\geq 1$ que $y_{n_k-n+1} \to x_n$ (para $k$). Entonces, para $k\geq 1$,

$$ \varrho(y,x_{n_k-1}) \leq \varrho(fy,x_{n_k-2}) \leq \ldots \leq \varrho(f^{n_k}(y),x_0). $$

Podemos entonces concluir que el $y=\lim_{k\to \infty}x_{n_k - 1}$, lo que significa que $y\in f(X)$.

Answer 2

Supongamos que $X\nsubseteq f(X)$ por lo que hay $x\in X$ tal que $x\notin f(X)$. $f(X)$ Es compacto así que hay un $r>0$ tal que $B(x, r)\cap f(X)=\emptyset$. Ahora tome la secuencia ${f^k(x)}_{k=0}^\infty$ $X$. Para cualquier dos números enteros $n$ y $m$ $m=n+k$, $k\geq 1$, $$\varrho(f^n(x), f^m(x))=\varrho(f^n(x), f^{n+k}(x))\geq \varrho(f^{n-1}(x), f^{n-1+k}(x))\geq\cdots\geq\varrho(x, f^k(x))\geq r$$ because $f ^ k (x) \in f (X) $. That is, any two distinct terms of the sequence $ \ {f ^ k (x) } $ differ by at least $r$ y por lo tanto no tiene un subsequence convergente. Esto nos da una contradicción.