¿Por qué es $\lim_{x\to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) = 1/2$?

Question

Últimamente he estado resolviendo algunos problemas de cálculo de un viejo libro ruso, y me encontré con algo que no entendí completamente: Uno de los problemas decía que $$\lim_{x\to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) = \frac{1}{2}$$ ¿Alguien podría por favor explicarme por qué es así?

Muchas gracias.

Answer 1

Cuando tengas preguntas como esta (es decir, un límite de una línea con un radical), siempre considera multiplicar tanto el numerador como el denominador por "algo" para que se vea mejor.

En este caso, considera qué sucedería si multiplicaras tanto el numerador como el denominador por $\sqrt{x^2+1} + x$.

Answer 2

Multiplicando el numerador y el denominador por $\sqrt{x^2+1}+x$ obtenemos que $$\begin{align}\lim_{x\to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) &=\lim_{x\to \infty} \frac{x(x^2+1-x^2)}{\sqrt{x^2+1}+x}\\ &=\lim_{x\to \infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1+x^{-2}}+x}\\ &=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^{-2}}+1} \end{align}$$ donde hemos utilizado el hecho de que $|x|=x$ porque el límite es cuando $x$ tiende a infinito. A partir de aquí, el límite es fácil de calcular.

Answer 3

Pista: Sea $t=1/x^2$ y recuerda la definición de la derivada como un cociente de diferencias.

Answer 4

Una cosa interesante a tener en cuenta es que:

$k=x\sqrt{x^2+1}-x^2$

Implica que

$x=\frac{k}{\sqrt{1-2k}}$

Y luego puedes ver fácilmente cómo $k=\frac{1}{2}$ es la asíntota.

Answer 5

$\lim_{x\to\infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)=\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^4+x^2}-x^2$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^4+x^2}-x^2)(\sqrt{x^4+x^2}+x^2)}{\sqrt{x^4+x^2}+x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^4+x^2-x^4}{\sqrt{x^4+x^2}+x^2}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x^4+x^2}+x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}\rightarrow \frac{1}{2}$