Concluyendo $\Bbb Z$-cohomology de $\Bbb Z_2$-cohomology utilizando Bocksteins

Question

De acuerdo con un teorema de Serre, el cohomology álgebra $H^*(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$ es un polinomio anillo en elementos $\iota_3, \,\operatorname{Sq}^2(\iota_3), \,\operatorname{Sq}^4\operatorname{Sq}^2(\iota_3), \, \cdots$ donde $\iota_3$ es un generador de $H^3(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)\cong \Bbb Z_2$.

Ahora me gustaría concluir la $\Bbb Z$-cohomology de $K(\Bbb Z,3)$ modulo impar de torsión en las dimensiones de $\leq 9$.

Hatcher hace en la prueba del teorema 5.39 (capítulo 5) el uso de la Bockstein $\beta=\operatorname{Sq}^1$. Este es el Bockstein asociada a la secuencia exacta $0\to \Bbb Z_2\to \Bbb Z_4\to \Bbb Z_2\to 0$. El uso de un par de Adem relaciones, Hatcher calcula lo $\beta$ lo hace con diversos elementos de la $H^*(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$. No tengo idea de cómo la utiliza para decir algo acerca de la $\Bbb Z$-cohomology modulo impar de torsión.

Aquí está una captura de pantalla de la parte pertinente:

Answer 1

Realmente agradecería comentarios en la siguiente respuesta, en particular la segunda parte.

Parte 1. $H^i(K(\Bbb Z,3);\Bbb Z)$ no contiene $\Bbb Z$ sumando y no contiene $\Bbb Z_{2^k}$ sumando para $k>1$, en el rango de $i\in\{4,\cdots, 9\}$

El Bockstein complejo de cadena tiene la siguiente forma

$$\underbrace{H^3(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)}_{\Bbb Z_2\cdot \iota_3}\to 0\to \underbrace{H^5(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)}_{\Bbb Z_2\cdot\operatorname{Sq}^2\iota_3}\stackrel{\beta_5}{\to} \underbrace{H^6(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)}_{\Bbb Z_2\cdot\iota_3^2}\to 0\to \underbrace{H^8(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)}_{\Bbb Z_2\cdot \iota_3\operatorname{Sq}^2\iota_3}\stackrel{\beta_8}{\to} \underbrace{H^9(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)}_{\Bbb Z_2\cdot \operatorname{Sq}^4\operatorname{Sq}^2\iota_3\,\oplus\,\Bbb Z_2\cdot\iota_3^3}\stackrel{\beta_9}{\to}\cdots$$ con Bocksteins $\beta_i=\operatorname{Sq}^1$ como conectar homomorphisms. En realidad podemos calcular todos estos conectar homomorphisms utilizando Adem relaciones. $\beta_5$ es un isomorfismo, $\beta_8$ es un isomorfismo en el segundo sumando, y $\beta_9$ mapas el primer factor isomorphically en $H^{10}(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$.

Por lo tanto la secuencia anterior es exacta y por lo tanto no da lugar a ninguna cohomology grupos. A continuación, aplicamos la proposición 3E.3 (pág. 305 en Hatcher), que en el contexto actual nos dice que:

• $H^i(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)$ no $\Bbb Z$ sumando, ya que daría lugar a una $\Bbb Z_2$ sumando en la cohomology grupos de la Bockstein complejo de cadena.
• $H^i(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)$ no puede contener un $\Bbb Z_{2^k}$ sumando para $k>1$ ya que también dan lugar a una $\Bbb Z_2$ sumando en un Bockstein cohomology grupo.
• En $H^i(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)$ no podría existir $\Bbb Z_2$ sumandos sólo en las dimensiones de $6$ $9$ porque aquellos que dan lugar a $\Bbb Z_2$ sumandos en tanto $H^i(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$ e $H^{i-1}(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$.

Parte 2. Existen $\Bbb Z_2$ sumandos en $H^i(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)$$i=6$$i=9$.

Suponemos que, al contrario, $H^6(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)=0$ (recordemos que estamos ignorando impar de torsión). Por el universal coeficiente teorema esto implica que $\operatorname{Ext}\left(H_5(K(\Bbb Z,3);\Bbb Z), \Bbb Z \right)=0$. En particular, $H_5(K(\Bbb Z,3);\Bbb Z)$ no tiene ninguna 2-torsión. Asimismo, no tener un $\Bbb Z$ sumando porque eso nos daría una $\Bbb Z$ sumando en $H^5$. Por otro lado,

$$\begin{eqnarray}\Bbb Z_2\cong H^5(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)\cong H_5(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)\cong \underbrace{H_5(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z)\otimes \Bbb Z_2}_{=0 \text{ since $H_5$ has no $2$-torsion}}\, \oplus\, \underbrace{\operatorname{Tor}\left(H_4(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z),\Bbb Z_2\right)}_{0}\end{eqnarray}$$

donde el $\operatorname{Tor}$ plazo se desvanece desde $H_4$ no 2-torsión (otra cosa que tenemos algo distinto de cero en $H^4(K(\Bbb Z,3); \Bbb Z_2)$.

El caso de $i=9$ puede ser tratado de la misma manera.