Si una de Kerr-Newman agujero negro es como una cobra, spinning, imán pesado, ¿qué tipo de imán es?

Question

Yo estaba leyendo en el espacio De De Sitters, que indica que el efecto gravitatorio de un agujero negro es indistinguible de cualquier otra esféricamente simétrica distribución de la masa. Esto tiene mucho sentido para mí.

Ahora estoy super curioso, ¿se puede formular todas las propiedades de un agujero negro más allá del límite en el que GR es necesario en un completamente Maxwellian / Newtoniano sentido? El artículo de Wikipedia sobre el de Kerr-Newman métrica parece indicar que es así, pero las ecuaciones son en términos de la GR métricas. Esto no es lo que yo quiero, yo quiero una simplificación, un caso límite de que las matemáticas.

Ted Bunn respondió a una parte de mi pregunta en la Detección de la Carga Eléctrica de un Agujero Negro. Permítanme repetir la estúpidamente simple forma de la gravitatorio y el campo eléctrico de un agujero negro más allá del punto en el que GR es necesario.

$$\vec{g} = \frac{GM}{r^2} \hat{r}$$

$$\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{r}$$

Me corrija si estoy equivocado, pero estos puede ser una útil y precisa aproximación en muchos, de hecho, la mayoría de las situaciones en las que posiblemente interactuar con un agujero negro (si estábamos lo suficientemente cerca que estos no son representativos, arriesgarnos a una cita con la eternidad).

Pregunta: Llenar el espacio en blanco; ¿cuál sería el campo magnético de $\vec{B}$ alrededor de un agujero negro?

He aquí por qué me parece que no-trivial: Cada imán en "nuestro" mundo tiene algunas importantes de la cintura. Así que aquí es normal que un imán.

¿Qué sucede cuando este es un agujero negro? Sería la aproximación de $\vec{B}$ que estoy pidiendo para tener todas las líneas de campo magnético pasa a través de la singularidad? O todos ellos pasan a través del horizonte de sucesos de radio, pero no necesariamente un solo punto?

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Creo que la mayoría de las personas que lo han entendido ya, pero lo ideal es que la respuesta de las 3 métricas fundamentales de un agujero negro. Masa $M$, % de carga$Q$, y el momento angular de $L$. El antes de las ecuaciones de la gravedad y el campo eléctrico ya se ajustan a este criterio. Así que la respuesta que estoy buscando debe ser factible en el siguiente formulario.

$$\vec{B} = f \left( M, Q, L, \vec{r} \right) $$

Answer 1

Es un poco complicado dar una respuesta formal a este, pero aquí es un boceto:. El potencial electromagnético de la Kerr-Newman agujero está dada por:

$$A_{a}dx^{a}=-\frac{Qr}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}\left(dt-a \sin^{2}\theta d\phi\right)$$

Este campo va a adquirir un campo magnético desde el hecho de que $\frac{\partial A_{\phi}}{\partial r}$ $\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \theta}$ son ambos cero. El problema es que el campo magnético, cuando se re-expresado en los términos de los vectores y no uno-formas, caerá como $\frac{1}{r^{3}}$. En ese momento, si estamos cumpliendo con los términos que se caen rápidamente, entonces tenemos que tener una discusión acerca de que la forma asintótica de la métrica que implica arriba, porque hay términos en la métrica que tenemos que mantener, derivadas del marco arrastrando los efectos del agujero negro. Si quieres, puedo entrar en más detalles.

EDITAR:

OK, así que una vez que tenemos el vector potencial, podemos calcular el campo magnético de acuerdo a la regla: $B^{i}=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}}\epsilon^{ijk}\left(\frac{\partial A_{j}}{dx^{k}}-\frac{\partial A_{k}}{dx^{j}}\right)$, donde $\epsilon^{r\theta\phi}=1$, $\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}=-\epsilon^{ikj}$ y $\epsilon^{ijk}=0$ si $i=j$, $i=k$ o $j=k$. Así que, ahora, simplemente enchufe en la expresión anterior para los componentes espaciales de $A_{a}$, la métrica del tensor y gire la manivela.

Después de hacer esto, y tomando el límite que $r$ es más grande que todo lo demás, nos encontramos con que

$${\vec B}=\frac{2Qa\cos\theta}{r^{3}}{\hat e}_{r} + \frac{Qa \sin \theta}{r^{3}}{\hat e}_{\theta}$$

Sensatez, esto es igual a cero si $Q=0$ o $a=0$. Y yo una vez más, afirman que no se $\frac{1}{r^{3}}$ correcciones a la fuerza de gravedad que debe ser tomado en cuenta en su alto $r$ límite si se va a mantener este campo magnético.

Answer 2

Voy a responder a esta pregunta con la hipótesis a priori que si alguna cantidad de la materia se derrumba con un campo determinado, a continuación, los campos se mantienen como se colapsa en un agujero negro. Yo no veo nada para refutar esta hipótesis, pero la validez de la misma está más allá de mi conocimiento. Como me apuntaba antes, este lo suficientemente lejos de la singularidad tal que GR de conceptos específicos que no son necesarios. El valor de corte para esto se formaliza mediante la siguiente condición.

$$GM/r \ll c^2/2$$

De nuevo, tenemos $Q$, $M$, y $L$ a describir el agujero negro. Obviamente, el agujero negro, y la singularidad en sí es una cierta cantidad de masa de rotación. Me parece que esta problemática debido a las dificultades con bucle de singularidades en un completamente Newtoniano sentido. De todos modos, tengo que hacer declaraciones sobre el momento angular.

$$L = M a V$$

Es decir, el momento angular es debido al hecho de que la masa de la singularidad se encuentra en una posición de distancia desde el eje de rotación, $a$ y girando a la velocidad de la $V$. Con la declaración anterior, podemos hacer algunas declaración significativa sobre el momento magnético, $\vec{m}$. Voy a asumir que el eje de rotación es el eje z y que indican que la unidad de vector con $\hat{k}$. La siguiente ecuación proviene de Wikipedia. A continuación, voy a combinar esto con la anterior ecuación. Haciendo esto álgebra hace la suposición de que la masa tiene la misma distribución que la de carga.

$$\vec{m} = \frac{1}{2} Q a V \hat{k}$$

$$\vec{m} = \frac{Q L}{2 M} \hat{k} $$

Esto hace sentido intuitivo para mí. El más ímpetu angular, el más fuerte espero que el campo magnético de la misma. También, desde el momento angular tiene una masa de un componente, que básicamente tienen que dividir el que de nuevo fuera. Siguiente, sólo quiero usar la ecuación para una perfecta dipolo magnético. Esto es para decir que la cintura es cero, básicamente, asumiendo que se trata de una singularidad. Creo que esto estaría bien, a menos que la energía de rotación era una parte significativa de la energía contenida en ella. Voy a ignorar la función delta de infinito campo magnético en el origen, porque esto no es válido allí de todos modos.

$$\vec{B}(\vec{m}, \vec{r}) = \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \left(3(\vec{m}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{m}\right)$$

$$\vec{B}(M,Q,L,\vec{r}) = \frac {\mu_0 Q L} {8 \pi r^3 M} \left(3 \frac{r_z}{r} \hat{r}-\hat{k}\right)$$