Es $\{x + y^2 | (x,y) \in B_r(a,b) \}$ un conjunto abierto?

Question

Deje $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y) \mapsto x + y^2 $

Qué $f$ mapa abierto a los conjuntos de bloques abiertos con respecto a la norma de la topología en $\mathbb{R}$?

Doy la bienvenida a cualquier respuestas a este problema, a continuación es mi intento.

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Cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ puede ser escrito como una unión de abrir bolas en $\mathbb{R}^2$, esto es debido a que la colección de abrir las bolas de un topológico. También la imagen de una unión de conjuntos es la unión de las imágenes de cada juego y una unión de abiertos es abierta. Por lo tanto el problema se reduce a:

Es $\{x + y^2 | (x,y) \in B_r(a,b) \}$ un conjunto abierto?

Caso especial:

$\{x + y^2 | (x,y) \in B_1 (0,0) \} = (-1,1.25)$

Este fue obtenida por señalar

$\sup \{x + y^2 | (x,y) \in B_1 (0,0) \} = \\ \max \{x + y^2 | x^2 + y^2 =1 \} = \max \{\cos (\theta) + \sin^2(\theta) | \theta \in [0,2\pi] \}$

Y la última expresión puede ser resuelto por Weierstrass' teorema del Valor Extremo.

Answer 1

Deje $(u,v) \in U$, $U \subset \Bbb{R}^2$ abierto. Tenemos que demostrar que no es$\epsilon >0$$B_\epsilon (f(u,v))\subset f(U)$.

Para esto, simplemente se nota que no es$\epsilon >0$$B_\epsilon (u) \times\{ v \}\subset U$.

Junto con la forma especial de la $f$, esto demuestra la reclamación (por qué?).

Answer 2

Deje $\Omega\subset{\mathbb R}^2$ ser un conjunto abierto, y considerar la posibilidad de un punto de $c_0\in f(\Omega)$. Hay un punto de $(x_0,y_0)\in\Omega$$f(x_0,y_0)=c_0$. Como $\Omega$ está abierto el es $h>$ tales que el segmento de $\sigma_h$ con extremos de $(x_0-h,y_0)$ $(x_0+h,y_0)$ está contenido en $\Omega$. De ello se sigue que $$[c_0-h,c_0+h]=f(\sigma_h)\subset f(\Omega)\ .$$ Desde $c_0\in f(\Omega)$ fue arbitraria, esto demuestra que $f(\Omega)$ está abierto.

Nota que nos hicieron uso de la definición exacta de $f$; la continuidad no sería suficiente.