Seguimiento de la potencia de la matriz es nulo

Question

Deje $K$ ser un campo de característica $p \geq 0$ y deje $M$ ser una matriz de $n \times n$$K$. Si $p \nmid n$ $Tr(M^i) = 0$ todos los $i = 1,\dots,n$, como para demostrar que $M + Id_n$ es invertible?

Si $p=0$, podemos escribir una prueba de uso de la habitual fórmula general para el polinomio característico de una matriz (que es una aplicación de Newton identidades).

Answer 1

No se puede, porque su afirmación es falsa. Considere la posibilidad de $n=3,\ p=2$$M=\operatorname{diag}(1,1,0)$. Para cualquier $i\ge1$,$M^i=M$$\operatorname{tr}(M^i)=\operatorname{tr}(M)=0$. Sin embargo, $M+I=\operatorname{diag}(0,0,1)$ no es invertible.

Su afirmación es verdadera, sin embargo, si se sustituye la condición de $p \nmid n$ $p=0$ o $p>n$. Para demostrar la afirmación, puede modificar JBC el argumento de una pregunta relacionada. La clave está en que $M$ debe ser nilpotent. Suponer lo contrario. A continuación,$M$, a lo largo de la clausura algebraica de $K$, un conjunto de distintos no-cero autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$. Deje $n_i$ la multiplicidad de $\lambda_i$. A partir de la condición de que $\operatorname{tr}(M^i)=0$$i=1,2,\ldots,n$, obtenemos $$ \underbrace{\pmatrix{ \lambda_1&\lambda_2&\cdots&\lambda_r\\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_r^2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \lambda_1^r & \lambda_2^r & \cdots & \lambda_r^r }}_V \pmatrix{n_1 \\ n_2 \\ \vdots \\ n_r} =\pmatrix{0 \\ 0\\ \vdots \\ 0}.\la etiqueta{1} $$ La matriz cuadrada $V$ en el de la izquierda es igual a $$ \pmatrix{ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1&\lambda_2&\cdots&\lambda_r\\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_r^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{i-1} & \lambda_2^{i-1} & \cdots & \lambda_r^{i-1} } \pmatrix{\lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_r}, $$ que es el producto de una matriz de Vandermonde y una matriz diagonal. Como todos los $\lambda_i$s son cero y distinto, $V$ es invertible. Sin embargo, como $p>n$, el vector $(n_1,\ldots,n_r)^T$ es distinto de cero. Así, llegamos a una contradicción en $(1)$. Por lo tanto $M$ debe ser nilpotent y en vez de $M+I$ es invertible.

Answer 2

Para la matriz de $M$ muestran que todos los autovalores son 0, que es nilpotent. Luego de ello se sigue que $M+\mathrm{Id}_n$ tiene todos los autovalores 1, y por lo tanto invertible.