Demostrar que la función exponencial es continua en cada $x_{0}$

Question

Dada:

$$\exp: \mathbb{R} \ni x \mapsto \sum_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k!} x^{k} \in \mathbb{R}$$

también $e = \exp(1)$ . Para todos los $x \in \mathbb{R}$ con $\left | x \right | \leq 1$ : $$\left | \exp(x) - 1 \right | \leq \left | x \right | \cdot (e-1)$$

y $\exp(0) = 1$

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Para demostrar que la función exponencial es continua para cada $x_{0}$ , es necesario demostrar que es continua en absoluto. Esto se demostró aquí (es continua en $x_{0}$ = 0): Demostrar que la función exponencial es continua

Pero prefiero esta prueba:

$$ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $$ aplicar algunos pequeños cambios $$ \exp(x) = 1 + x \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!} $$ por lo que para $x\to 0$ $$ |\exp(x) - 1| \le |x| \sum_{n=1}^\infty{|x|^{n-1}} \le |x| \frac{1}{1-|x|} \to 0 $$

Yo diría que para demostrar que la función exponencial es continua para todo $x_{0} = 0$ Sólo tengo que demostrar que es continua en $x_{0}$ = 0 (hecho) y entonces puedo concluir que es continua en todas partes, así que en $x=x_{0}$ ? No estoy seguro de esto, ¿es realmente posible?

Answer 1

La prueba de que $$ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b) $$ es una simple aplicación de la convergencia absoluta y del teorema del binomio. Véase Prueba $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ utilizando la serie exponencial

Una vez que se tiene este conocimiento, se puede observar que $$ |\exp(x+h)-\exp(x)|=|\exp(x)|\,|\exp(h)-1| $$ y utilizar la continuidad ya demostrada en $0$ .

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo mostrar que $e^xe^y=e^{x+y}$ directamente de la definición de límite de la función exponencial dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{e^x=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n} \tag 1$$

Para ello, procedemos a continuación

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En primer lugar, vemos que

$$\begin{align} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\left(1+\frac{y}{n}\right)^n&=\left(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)^n\\\\ &=\left(1+\frac{x+y+\frac{xy}{n}}{n}\right)^n \tag 2 \end{align}$$

Si $xy>0$ , entonces para todos los $n>N$ tenemos de $(2)$

$$\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n\le \left(1+\frac{x+y+\frac{xy}{n}}{n}\right)^n \le \left(1+\frac{x+y+\frac{xy}{N}}{n}\right)^n \tag 3$$

Tomando el límite como $n\to \infty$ de $(3)$ revela

$$e^{x+y}\le e^{x}e^{y} \le e^{x+y+xy/N} \tag 4$$

Utilizando la desigualdad del lado izquierdo en $(4)$ y aplicándolo al lado derecho se ve que para $xy>0$ , $e^{x+y+xy/N}\le e^{x+y}e^{xy/N}$ y por lo tanto

$$e^{x+y}\le e^{x}e^{y} \le e^{x+y} e^{xy/N} \tag 5$$

Dejar $N\to \infty$ produce

$$e^{x+y}\le e^xe^y\le e^{x+y}$$

donde utilizamos las desigualdades para la exponencial $1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}$ para $x<1$ que establecí en ESTA RESPUESTA utilizando sólo $(1)$ y la desigualdad de Bernoulli.

Ahora hemos establecido la igualdad $e^xe^y=e^{x+y}$ para $xy>0$ . Para $xy<0$ simplemente invertimos las desigualdades en $(3)$ y proceder de forma análoga.

Por último, consulte ESTA RESPUESTA en el que se utilizó el resultado aquí expuesto para demostrar la continuidad de $e^x$ para todos $x$ .