La forma cerrada para $n$-ésima derivada de la exponencial

Question

Necesito de forma cerrada para la $n$-ésima derivada ($n\geq0 $):

$$\frac{\partial^n}{\partial x^n}\exp\left(-\frac{\pi^2a^2}{x}\right)$$

Gracias!

Siguiendo la sugerencia de los polinomios de Hermite:

$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{\partial^n}{\partial x^n}e^{-x^2}$$

y haciendo el cambio de variable $x=\pi a y^{-\frac{1}{2}}$, obtengo:

$$\frac{\partial^n}{\partial x^n}=-2\left(\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\pi a}\right)^n\frac{\partial^n}{\partial y^n}$$

y por lo tanto

$$H_n(\pi a y^{-\frac{1}{2}})=(-1)^{n+1}e^{\frac{\pi^2a^2}{y}}2\left(\frac{\pi a}{y^{\frac{3}{2}}}\right)^n\frac{\partial^n}{\partial y^n}e^{-\frac{\pi^2a^2}{y}}$$

Finalmente

$$\frac{\partial^n}{\partial y^n}e^{-\frac{\pi^2a^2}{y}}=\frac{1}{2}e^{-\frac{\pi^2a^2}{y}}(-1)^{n+1}H_n(\pi a y^{-\frac{1}{2}})\left(\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\pi a}\right)^n$$

Es esto correcto?

Answer 1

He obtenido el siguiente resultado utilizando la transformada de Fourier: $$\frac{\partial^n}{\partial x^n}\exp\left(-\frac{\pi^2a^2}{x}\right)=\\\frac12\pi^2\,a^2(-1)^nn!\ x^{-n-2}\left({_2F_3}\left(\frac{n}{2}+1,\frac{n}{2}+\frac{3}{2};\frac{3}{2},\frac{3}{2},2;\frac{a^4\,\pi^4}{4\,x^2}\right)\pi^2a^2(n+1)\\-{_2F_3}\left(\frac n2+\frac12,\frac n2+1;\frac12,1,\frac32;\frac{a^4\pi^4}{4\,x^2}\right)2\,x\right).$$

Probablemente, esto se puede simplificar.

Answer 2

Problema relacionado con: (I). Aquí es una fórmula para el $n$th derivados del entero orden de $e^{\frac{c}{x}}$

Fórmula 1: Esta fórmula es válida sólo para $n \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\}$.

$$\left( \rm e^{\frac{c}{x}}\right)^{(n)} = {{\rm e}^{{\frac{c}{x}}}}\sum _{s=0}^{n} \la suma de _{k=0}^{n} \left( -1 \right)^{-k-s}\left[\matriz{n\\k+s}\right] \left\{\matriz{k+s\\s}\right\}{c}^{s}{x}^{-s-n},\quad n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} $$

donde $\left[\matrix{n\\k+s}\right]$ $\left\{\matrix{k+s\\s}\right\}$ son los números de Stirling de primera clase y segunda clase , respectivamente.

Fórmula 2: Aquí es una fórmula unificada que ofrece una solución completa para el problema de la diferenciación y la integración de la real orden de la función en términos de la función MeijerG

$$\left(\rm e^{\frac{c}{x}}\right)^{(n)} = \left( -1 \right)^{n+1}{a}^{n} \left( -1 \right) ^{n}G^{1, 1}_{1, 2}\a la izquierda(-{\frac {a}{x}}\, \Big\vert\,^{1}_{1+n, n}\right) ,\quad n\in \mathbb{R}.$$

La última fórmula da

1) los derivados de la real orden si $n>0$,

2) anti-derivados de la real orden si $n<0$.

Nota: El $n$th derivados del entero orden de la función $e^{\frac{1}{x}}$ tiene que ver con Lah nembers.