¿Cómo medir la asimetría de una función?

Question

Dejemos que $f(x) = x^{2}$ Así que $f(x)$  es una parábola simétrica hacia arriba. Es una función perfectamente simétrica ya que $f(x) = f(-x)$ para cualquier valor de $x$ .

Ahora, supongamos que $f$  es sólo una función. ¿Cómo se puede medir la simetría?

Me gustaría llegar a algo que pudiera utilizar para comparar dos (o más) funciones y hacer afirmaciones como $f$ es más simétrico que $g$ .

Answer 1

Dada cualquier función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ podemos definir dos funciones

$$g(x)=\frac 12(f(x)+f(-x))$$ $$h(x)=\frac 12(f(x)-f(-x))$$

Entonces tenemos $f=g+h$ , $g$ es una función par (simétrica con respecto a la reflexión en el $y$ -eje), y $h$ es una función impar (simétrica con respecto a una rotación de $180°$ alrededor del origen).

Si por "qué simétrico" te refieres a con el $y$ -eje, el "tamaño" de la función $h$ responde que, para como sea que se defina "tamaño", ya que es el "sobrante" entre $f$ y la función par $g$ . Si te refieres al origen, el "tamaño" de la función $g$ responde que.

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Hay múltiples formas de definir el "tamaño" de una función real. Si permitimos un valor de $+\infty$ para el tamaño, podríamos medir $h$ con una de

$$\lim_{x\to+\infty}|h(x)|$$ $$\sup_{x\in\Bbb R}|h(x)|$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(x)|\,dx$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}(h(x))^2\,dx$$

Algunos de ellos pueden ser indefinidos para casos particulares.

Si el "tamaño" de dos funciones $h_1$ y $h_2$ son ambos $+\infty$ , aún podríamos decidir si $h_1$ es mayor que $h_2$ comparándolos con

$$\lim_{x\to+\infty}\left|\frac{h_1(x)}{h_2(x)}\right|$$

si existe ese límite. También hay otras posibilidades, por supuesto.