Adecuada De Bernoulli Función De Generación De Función

Question

Considere la función

$$\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{B_i}{i!}t^i$$

Esta ha sido una de las famosas funciones de generación de los números de bernoulli. ¿Qué acerca de la función asociada con

$$\sum_{i=0}^{\infty}B_it^i$$

Qué función puede ser esto?

Answer 1

Para tal generar el uso de la función de este asintótica de expansión de la "función digamma" $\psi$ :

$$-\left(\psi\left(\frac 1x\right)+\log x+\frac x2\right)\sim \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n}x^{2n},\quad \text{as}\;x\to 0$$ El origen de este es simplemente el bien conocido $\;\zeta(1-n)=-\dfrac{B_n}n\;$ que se aplica a la de Euler de Maclaurin de expansión de la serie de suma $\;\displaystyle\sum_{n=1}^{1/x}\frac 1n$, como se muestra en la Wikipedia digamma enlace.

Una formulación equivalente es (desde $B_1=-\frac 12$ es la única que no es cero impar de Bernoulli número) $$\tag{1}-\left(\psi\left(\frac 1x\right)+\log x+x\right)\sim \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k}x^{k},\quad \text{as}\;x\to 0$$ Calcular la derivada de $(1)$, multiplicando por $x$ y añadiendo $1$ (desde $B_0=1$) finalmente llegamos :

$$\tag{2} \frac{\psi'\left(\frac 1x\right)}x-x\sim \sum_{k=0}^\infty B_k\; x^{k},\quad \text{as}\;x\to 0$$ (con $\psi'$ el trigamma función y la relación también se proporciona en el enlace)