Que Signo puedo elegir el uso de la Mitad del Ángulo de la Fórmula por el pecado para esto?

Question

Yo soy la evaluación de $\sin\left(\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(-\frac{7}{25}\right)\right).$

La primera cosa que hice fue volver a escribir como $\sin\left(\frac{\beta }{2}\right)$

Entonces me dijo que $\sin\left(\beta \right)=-\frac{7}{25}$

El uso de la Identidad Pitagórica encontré $cos\left(\beta \right)$

$\cos\left(\beta \right)=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{7}{25}\right)^2}$

Por lo $\cos\left(\beta \right)=\pm\frac{24}{25}$

A continuación, elegir el signo de $\cos\left(\beta \right)$, hice esto:

1) $\sin^{-1}\left(...\right)$: QI o QIV

2) $\sin\left(\beta \right)>0$ QI o QII

3) $\rightarrow \cos\left(\beta \right)$ es en QI

$\cos\left(\beta \right)=+\frac{24}{25}$

Luego he aplicado esto a la Mitad del Ángulo de la Fórmula para el Seno:

$\pm\sqrt{\frac{1}{25}\left(\frac{1}{2}\right)}$ $=\pm\frac{1}{5}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $=\pm\frac{\sqrt{2}}{10}$

Pero que firmar puedo elegir?

Answer 1

@N F Taussig ha establecido mí directamente en este...

$\arcsin$ toma valores en $[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$, por lo que, de hecho, $-\frac{\pi}2\lt \beta\lt0$ (desde $\sin{\beta}\lt0$)

Así llegamos a la conclusión de que $$-\frac{\pi}4\lt\frac{\beta}2\lt0$$ and $\el pecado{\frac{\beta}2}\lt0$.

Answer 2

Deje $\sin^{-1}\left(-\frac{7}{25}\right)=t$

Como para el real $x,-\dfrac\pi2\le\sin^{-1}x\le\dfrac\pi2,-\dfrac\pi2\le t<0$ $t<0$

$\implies\sin\left(\dfrac t2\right)<0$

y $\cos t=+\sqrt{1-\sin^2t}=?$

$\sin\left(\dfrac t2\right)=-\sqrt{\dfrac{1-\cos t}2}=?$

Answer 3

Las otras respuestas son buenas, pero pensé que podría ayudar a tener una imagen de lo que está pasando aquí. Para entender esto correctamente, usted necesita tener (al menos) una noción de seno y coseno como las funciones que implican el círculo unidad.

El ángulo original $\beta$ está determinado por cuando la línea $y = -\frac{7}{25}$ cruza el círculo unidad en la mitad derecha del plano-( $x \geq 0$ , o, equivalentemente,$-\frac\pi2 \leq \beta \leq \frac\pi2$). Esta es la línea discontinua y el ángulo en azul. La mitad de la que es el ángulo en naranja, y el seno es la línea de puntos de color naranja.

En resumen, desde $\beta$ es negativo, por lo que debe $\beta/2$.