La expectativa de $(X + Y)^2$ donde $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias de Poisson

Question

Realmente agradecería la ayuda de nadie con este problema:

(deje $E$ denotar las expectativas)

Supongamos $X$ $Y$ son independientes de Poisson variables aleatorias, cada una con una media de $1$.
Encontrar: $E[(X + Y)^2]$ "

Mi pregunta es ¿por qué no puedo ampliar la $(X + Y)^2$ conseguir $E(X^2 + 2XY + Y^2)$ y, a continuación, utilizar la linealidad para obtener $E(X^2) + 2E(X)E(Y) + E(Y^2)$. Entonces a partir de la $X$ $Y$ son independientes, esto daría $E(X)^2 + 2(1)(1) + E(Y)^2 = 1 + 2 + 1 = 4$. Pero la respuesta es 6.

Puedo obtener la respuesta correcta a través de este método: $E[(X+Y)^2] = Var(X + Y) + E[(X+Y)]^2$, y observando que $X + Y$ tiene una distribución de Poisson con una media de $2$. Pero, ¿por qué no el primer método de trabajo?

Por favor, ayuda! Realmente lo apreciaría.

Answer 1

¿por qué no puedo ampliar la $(X + Y)^2$ conseguir $E(X^2 + 2XY + Y^2)$

Puede.

y, a continuación, utilizar la linealidad para obtener $E(X^2) + 2E(X)E(Y) + E(Y^2)$

Usted puede

Entonces a partir de la $X$ $Y$ son independientes,

a la derecha ... pero usted ya ha utilizado la independencia en el paso anterior cuando escribiste $E(XY)$$E(X)\,E(Y)$.

esto daría $E(X)^2 + 2(1)(1) + E(Y)^2 = 1 + 2 + 1 = 4$.

Nope. Sólo fuimos $E(X^2) = E(X)^2$; que no es cierto. Tienes la manipulación de la derecha cuando se hizo de otra manera. Tenga en cuenta que:

$E(X^2) = \text{Var}(X) + E(X)^2 = 1 + 1 = 2$

y, a continuación, el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

No se puede decir $E(X^2)=E(X)^2$ desde $X$ no es independiente de $X$. Para este problema se puede establecer $Z=X_1+X_2 \sim \text{Poisson}$, con una media de $2$. Que usted puede encontrar $E(Z^2)$ fácilmente.