Demostrar que una matriz no es diagonalizable

Question

Para el valor propio 1, el espacio propio que obtuve fue $span[ 1,0,0]$ y para el valor propio 4, el espacio propio que obtuve fue $span[ 1,-3,9]$ . ¿Se ven bien?

La razón por la que la matriz no es diagonalizable es porque sólo tenemos 2 eigevectores linealmente independientes por lo que no podemos abarcar R3 con ellos, por lo tanto no podemos crear una matriz E con los eigenvectores como su base. ¿Es eso correcto, lo he expresado bien?

Answer 1

La multiplicidad algebraica de $\lambda=1$ es $2$ . Una matriz es diagonalizable si y sólo si la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica de cada uno de los valores propios.

Según sus cálculos, el eigespacio de $\lambda=1$ tiene dimensión $1$ es decir, la multiplicidad geométrica de $\lambda=1$ es $1$ y por tanto estrictamente menor que su multiplicidad algebraica. Por lo tanto, $A$ no es diagonalizable.

Obsérvese que en realidad no es necesario calcular el eigespacio para determinar la diagonalizabilidad: basta con averiguar la dimensión del eigespacio. El eigespacio de $\lambda=1$ es el espacio nulo de $A-I$ . Desde $$A-I = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$$ tiene rango $2$ tiene nulidad $1$ por lo que la dimensión del eigespacio correspondiente a $\lambda=1$ es $1$ estrictamente menor que la multiplicidad algebraica. Esto es suficiente para demostrar $A$ no es diagonalizable.

Answer 2

Los valores propios son correctos, son $\lambda_1=1$ y $\lambda_2=4$ . Las multiplicidades algebraicas son $m(\lambda_1)=2$ y $m(\lambda_2)=1$ .

El eigespacio relativo a $\lambda_1$ es (como has comprobado correctamente) $V_{\lambda_1} = \langle (1,0,0) \rangle$ . El eigespacio relativo a $\lambda_2$ es $V_{\lambda_2} = \langle (1,3,9) \rangle$ .

Como ha dicho, ya que el $1=\dim V_{\lambda_1} \ne m(\lambda_1) =2$ se puede concluir fácilmente que la matriz no es diagonalizable.

Answer 3

SPOILER

$\left[ A,A^\dagger \right]_- = AA^\dagger -A^\dagger A = \begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0 & 0& 3\\ 0 & 3& -1 \end{pmatrix}$