Mostrar que la funcional de la ecuación se satisface para todos los $x\in (a,b)$

Question

Una función de $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es continua en a $[a,b]$ y dos veces derivable en a $(a,b)$ tal que $f(a)=f(b)=0$. Demostrar que para cada una de las $x\in (a,b)$, hay algunos $y\in (a,b)$ s.t $f(x) = \frac{1}{2}(x-a)(x-b)f''(y)$

Probablemente somos el uso de Cauchy del valor de la media.

Answer 1

Vamos a definir

$$g(t)= f(t)-A(t-a)(t-b)$$

donde

$$A=\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}$$

Ha $g(a)=g(b)=g(x)=0$. Por el teorema de Rolle, existe $x_a \in (a,x)$ $x_b \in (x,b)$ tal que $g^\prime(x_a)=g^\prime(x_b)=0$. Y por Rolle, de nuevo, uno puede encontrar $y \in (x_a,x_b)$ tal que $g^{\prime \prime}(y)=f^{\prime \prime}(y)-2A= 0$.

Lo que permite concluir que el resultado deseado usando $A$ definición.