Encontrar una secuencia $a_n \downarrow 0$ tales que lim$_{n\to\infty}na_n=0$, pero tal que $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge.

Question

Mi profesor le dio $a_n=\frac{1}{n\log n}$$n \geq 2$, como tal, un ejemplo pero no puedo entender por qué esto es cierto. Estoy más que aceptar que la serie $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}$ es en realidad convergente en lugar de divergente. Aquí está mi razonamiento:

Tenga en cuenta que $\sum_{n=2}^{10}\frac{1}{n\log n}$ es algún número finito.

Tenga en cuenta que $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log n} = \sum_{n=2}^{10}\frac{1}{n\log n} + \sum_{n=11}^{\infty}\frac{1}{n\log n}$.

Pero, $n\log n > n$$n>10$. Puedo dejar a $n\log n =n^p$ donde $p>1$. A continuación, utilizando la serie p, $\sum_{n=11}^{\infty}\frac{1}{n\log n} = \sum_{n=11}^\infty \frac{1}{n^p}$ converge para algún número finito.

Por lo tanto, $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\log n} = \sum_{n=2}^{10}\frac{1}{n\log n} + \sum_{n=11}^\infty \frac{1}{n\log n}$ deben converger. $\blacksquare$

Mi profesor dijo que este era un ejemplo para darnos una intuición $p$-serie funcionará para cualquier $p>1$ aunque $p=1.0000000000000001$ o $p$ es mayor que $1$ muy muy pequeña cantidad.

Answer 1

Para un valor fijo de $n,$ usted puede eligió $p>1$, de modo que $n\log n = n^p,$, pero para el siguiente valor de $n$ obtener un valor diferente de $p$, y para el próximo obtendrá un valor de $p,$ y así sucesivamente. El valor de $p$ no se queda fijo como $n$ cambios. Que es el error en su argumento.

Una parte integral de la prueba se encarga de esto rápidamente: $$ \int \frac{dx}{x\log x} = \int \frac{du} u \text{ donde } u = \log x \text{ y } du = \frac{dx} x. $$

Answer 2

Si $n\log(n)=n^p$$n>10$$\log(n)=n^{p-1}$$n>10$, lo cual es falso. $\log(n)$ crece más lentamente que cualquier potencia positiva de $n$.

Para demostrar que $\sum\frac{1}{n\log n}$ diverge, puede utilizar la integral de la prueba o de Cauchy de la prueba de condensación.

Answer 3

Supongamos que estamos de acuerdo en $\ln(n)<n$. A continuación, se deduce que para cualquier $p>0$,

$$\ln(n^p)<n^p$$

Pero por el registro de reglas, esto significa

$$\ln(n)<\frac1pn^p$$

o,

$$\ln(n)<<n^p$$

Para cada $p>0$. Me refiero, claro, es verdad que $n<n\ln(n)<n^{1+p}$ por cada $p>0$, pero esto no significa la misma cosa como $n\ln(n)=n^p$.

Tomando a lo largo de sus líneas, se podría decir que crece más lento que cualquier $n^{1+p}$, por lo que diverge la serie p, pero como vamos a encontrar, esta lógica es un error.

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A mí, me parece la prueba de condensación de Cauchy muy intuitiva:

$$\begin{align}S&=\frac1{2\log(2)}+\frac1{3\log(3)}+\frac1{4\log(4)}+\frac1{5\log(5)}+\dots\\&>\frac1{2\log(2)}+\frac1{4\log(4)}+\frac1{4\log(4)}+\frac1{8\log(8)}+\dots\end{align}$$

Reemplazamos cada término con $2^n$ de manera tal que todos los términos será menor que o igual a la original. Después de hacer eso, tenemos una $2$ dos $4$'s, cuatro $8$'s, ..., $2^{n-1}$ cantidad de $2^n$'s. A continuación, podemos simplificar esto en la siguiente línea:

$$\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\log(n)}>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n-1}}{(2^n)\log(2^n)}=\frac1{2\log(2)}\sum_{n=1}^\infty\frac1n$$

Ahora, no es tan difícil ver que la serie diverge por la p de la serie.

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La lección aquí? Se aparta de forma logarítmica más lento de lo $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$, que es la razón por la divergencia no era evidente. Curiosamente, divergente "logarítmicamente más lento" oculta cualquier obvia comparación a la p de la serie, ya que se encuentra en algún lugar entre el $\frac1n$ $\frac1{n^{1+p}}$.

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Como una nota del lado, una tabla de la serie con logaritmos y tal:

$$\begin{array}{c|c}\text{diverges}&\text{converges}\\\hline\frac1{n\log(n)}&\frac1{n\log^2(n)}\\\frac1{n\log(\log(n))}&\frac{(-1)^n}{\log(n)}\\\frac1{\log(n!)}&\frac1{n\log^{1.1}(\log(n))}\end{array}$$