¿Por qué $\|\sum_{i=1}^{N}\langle f,\phi_i\rangle\phi_i\|^2 = \sum_{i=1}^{N}|\langle f,\phi_i\rangle|^2 $?

Question

Estoy leyendo sobre el análisis de Fourier y hay una igualdad, que no entiendo. Por qué:

$$\left\|\sum_{i=1}^{N}\langle f,\phi_i\rangle\phi_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^{N}|\langle f,\phi_i\rangle|^2 ,$$

donde $f$ $\phi_i$s son infinitas dimensiones de valores complejos de "vectores". En mi libro son funciones, pero que son considerados como de infinitas dimensiones de los vectores. El $\phi_i$s son mutuamente ortonormales.

$$\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)\overline{g(x)}\;dx$$ $$\|f\| = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2\;dx}$$

Supongo que voy a usar el teorema de Pitágoras aquí?:

si los vectores $\boldsymbol{a}_1$, ..., $\boldsymbol{a}_n$ son mutuamente ortogonales, a continuación,

$$\|\boldsymbol{a}_1+ \cdots+\boldsymbol{a}_n\|^2 = \|\boldsymbol{a}_1\|^2+\cdots+\|\boldsymbol{a}_n\|^2$$

Gracias por la ayuda! Por favor, hágamelo saber si usted necesita más información :)

Answer 1

Más explícitamente:

$$\left\|\sum_{i=1}^N\langle f,\phi_i\rangle\phi_i\right\|^2=\left\langle\sum_{i=1}^N\langle f,\phi_i\rangle\phi_i\,,\,\sum_{i=1}^N\langle f,\phi_i\rangle\phi_i\right\rangle=$$

$$\sum_{i,j=1}^N\langle f,\phi_i\rangle\overline{\langle f,\phi_j\rangle}\langle\phi_i\,,\,\phi_j\rangle=\sum_{i=1}^N|\langle f\,,\,\phi_i\rangle|^2$$

desde

$$\langle\phi_i\,,\,\phi_j\rangle=\delta_{i,j}=\begin{cases}1&,\;\;i=j\\{}\\0&,\;\;i\neq j\end{cases}$$

Answer 2

Respuesta corta: $|\cdots|^2=\langle\cdots,\cdots\rangle$. Expanda. El cruzado términos de desaparecer por la ortogonalidad.

Answer 3

\begin{align} \left\|\sum_{i=1}^n \langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i\right\|^2 &= \left\langle\sum_{i=1}^n \langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i,\sum_{i=1}^n \langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i\right\rangle =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \big\langle\langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i,\langle f,\varphi_j\rangle\varphi_j \big\rangle \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle f,\varphi_i\rangle\overline{\langle f,\varphi_j\rangle}\langle\varphi_i,\varphi_j\rangle= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle f,\varphi_i\rangle\overline{\langle f,\varphi_j\rangle}\delta_{ij}=\sum_{i=1}^n |\langle f,\varphi_i\rangle|^2 \end{align}